jak obliczyc wartosci pierwiastkow???

[guardiola]

prosze o pomoc po raz kolejny
\(\displaystyle{ \sqrt{i} \\ \sqrt[3]{i} \\ \sqrt[3]{-1+i} \\ \sqrt[3]{2-2i}}\)
Znaleźć wszystkie pierwiastki równań:
\(\displaystyle{ x^{4}-1=0 \\ x^{6} + 64 = 0 \\ x^{4}+4 = 0 \\ x^{3} + 8=0}\)
Wyrazić przez sinx i cosx:
\(\displaystyle{ \sin6x \\ \cos8x}\)
dziekuje serdecznie

Edit by Tomek R.: Tym razem otrzymujesz ostrzeżenie. Wątek blokuję.

Edit by Rogal: Mam dziś chyba wyjątkowo dobry dzień, bo poprawiłem Ci ten obrazek na normalny zapis. Przypuszczam jednak, że po raz ostatni. Temat odblokowuję.

[Rogal]

Jeżeli chodzi pierwsze cztery, to skorzystaj po prostu z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej i wzoru de Moivre'a na pierwiastki.
W kolejnych czterech albo przenieś liczby na prawą stronę i spierwiastkuj korzystając z metody powyższej, albo robiąc algebraicznie, to w pierwszym, drugim i czwartym skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia i twierdzenia o zerowaniu się iloczynu. Natomiast w równianiu trzecim spójrz na takie coś:
\(\displaystyle{ x^{4}+4=x^{4}+4x^{2}+4 - 4x^{2}= (x^{2}+2)^{2} - (2x)^{2} = (x^{2} -2x+2)(x^{2}+2x+2)}\)
W ten sposób można szybko rozłożyć to wyrażenie na czynniki, a dalej już prosto z równania kwadratowego.
Natomiast dwa ostatnie robi się ze wzoru de Moivre'a na potęgowanie, jednak nie jestem w stanie podać szczegółów.

[Gobol]

Co do dwóch ostatnich to rozwiązuje się to tak:
Obliczas wykorzystując wzór De'Moivre
\(\displaystyle{ (cosx+isinx)^6}\) wychodzi \(\displaystyle{ cos6x+isin6x}\)
Teraz obliczasz to samo po prostu wymnazając to (najłatwiej korzystając z trókątu pascalu). Wyjdzie Ci z tego dość długi wzór. Musisz pogrupować elementy tak żeby było (część rzeczywista) + i(czesc urojona). I teraz przyrównujesz to z tym co obliczyłeś wcześniej i wychodzi że cos6x się równa części rzeczywstej z tego drugiego równania.

[Cziki]

Mam pytanie do poprzedniego postu. Zrobiłam ten przykład zgodnie ze wskazówkami z podręcznika, ale wynik wyszedł mi z błędnymi znakami. Tj. nie rozumiem, dlaczego \(\displaystyle{ 20cos^{3}xisin^{3}x}\) ma być ze znakiem ujemnym?

[Marmon]

Pokaże mi ktoś jak zrobić
\(\displaystyle{ \sqrt{j}}\)
??

\(\displaystyle{ x^4 - 1 = 0}\) zrobiłem chyba wyszło mi że \(\displaystyle{ x= \{1;-1;j\}}\)

A w następnym doszedłem do:

\(\displaystyle{ x^6 + 64=0}\)

\(\displaystyle{ x^6=-64}\)

\(\displaystyle{ x^6=j^2 2^6}\)

\(\displaystyle{ x=2 \sqrt[3]{j}}\)
I wracam do punktu wyjścia bo nie wiem co zrobić z \(\displaystyle{ \sqrt{j}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{j}}\) ale to trzeciego stopnia spróbuje analogicznie

Może to są banały ale dopiero zaczynam liczby zespolone
Wiem że jest napisane jak ale cóż... chciałbym to zobaczyć

Jeżeli chodzi pierwsze cztery, to skorzystaj po prostu z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej i wzoru de Moivre'a na pierwiastki.

Edit: chyba wiem już o co chodzi
w ogóle pierwiastek to ta część rzeczywista liczby zespolonej tak?
dla \(\displaystyle{ \sqrt{j}}\) jest \(\displaystyle{ z=0+j}\)
\(\displaystyle{ x=(cos\frac{\Pi}{2}+j\cdot sin\frac{\Pi}{2} )^\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ x=cos\frac{\Pi}{4}+j \cdot \frac{\Pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{ \sqrt{2} }{2} + j \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

wszystko ok?

Analogicznie \(\displaystyle{ \sqrt[3]{j} \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2} (j + \sqrt{3} )}\)

Mam nadzieje że szybko to ogarnę

[Rogal]

Jeśli chodzi o wzór de Moivre'a, to gubisz rozwiązania - pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej różnej od zera jest zawsze n różnych. Wzór de Moivre'a obejmuje je wszystkie - popatrz dobrze na niego.
Natomiast tutaj akurat da się znacznie szybciej wykonać to algebraicznie.
Kolejno popatrz:
\(\displaystyle{ z^{2} = i \\ z^{4} = -1 \\ z^{4} + 1 = 0 \\ z^{4} + 2z^{2} + 1 - 2z^{2} = 0 \\ (z^{2}+1)^{2} - (z\sqrt{2})^{2} = 0 \\ (z^{2} - \sqrt{2}z + 1)(z^{2} + \sqrt{2}z + 1) = 0}\)
Dalej już dasz radę.
\(\displaystyle{ z^{6} + 64 = 0 \\ (z^{2} + 4)(z^{4} - 4z^{2} + 16) = 0}\)
Tutaj też dasz radę.

[Marmon]

Ja raczej nie potrafie wychwycić o co tu chodzi, jaka jest treść zadania czy ten cały pierwiastek to jest liczba zespolona czy tylko to co w nim siedzi

Jeśli jest coś co wydaje się dla Ciebie oczywiste to mi to powiedz bo pewnie tego nie wiem, a te rachunki które przedstawiłeś rozumiem chociaż sam bym tak nie potrafił bo nie jestem przyzwyczajony aby coś dodać i odjąć żeby powstał wzór :/ Dokończyć pewnie potrafie.

\(\displaystyle{ x^4 - 1 = 0}\) zrobiłem chyba wyszło mi że \(\displaystyle{ x= \{1;-1;j\}}\)

To jest ok, prawda?


Na ten wzór de Moivre'a patrze i nic.. co mam zobaczyć?

\(\displaystyle{ z^n=|z|^n (cos (n \phi) + j sin( n \phi ))}\)

[Rogal]

To co zrobiłeś jest prawie dobrze - brakuje -j.
Na wzór de Moivre'a patrz na pierwiastkowanie, nie na potęgowanie.
Wtedy go stosuj.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ z^{2} = i \\ z^{4} = -1 \\ z^{4} + 1 = 0 \\ z^{4} + 2z^{2} + 1 - 2z^{2} = 0 \\ \textcolor{red}{(z^{2}+1^{2}} - (z\sqrt{2})^{2} = 0 \\ (z^{2} - \sqrt{2}z + 1)(z^{2} + \sqrt{2}z + 1) = 0}\)

Literóweczka :]
Powinno być:

\(\displaystyle{ (z^2+1)^2 - (z\sqrt{2})^{2} = 0}\)

edit: poprawione :]

[Rogal]

Jasne, nie popatrzyłem, co napisałem.

[Marmon]

Apropo \(\displaystyle{ \sqrt{j}}\)

wyszło mi z dokończenia tego co napisałeś

\(\displaystyle{ z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} - j \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + j \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ z_3 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - j \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ z_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + j \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Coś pewnie znowu jest nie tak bo w jakiejś książce znalazłem ten przykład i w odpowiedziach są tylko dwie a nie cztery.

Chyba dam sobie spokój z tym, poczekam do ćwiczeń :/

[Rogal]

Bo przy podnoszeniu do kwadratu zawsze gubimy znak. Stąd pojawia nam się więcej rozwiązań (tutaj są jeszcze dwa pierwiastki z -j).
Zauważ, że w tym przypadku dobre są te dwa, które mają część rzeczywistą i urojoną tych samych znaków (wystarczy podnieść do kwadratu, by sprawdzić).
Jak coś, to jeszcze polecę do poczytania (tak, jestem nieskromny ]:->) 23611.htm

[Cziki]

A ja mam jeszcze jedno pytanie. Czy równanie \(\displaystyle{ x^{3}+8=0}\) można rozwiązać takim sposobem:

\(\displaystyle{ x^{3}=-8}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{-8}}\)
\(\displaystyle{ z=-8}\)

gdzie \(\displaystyle{ z=a-bi}\)

\(\displaystyle{ a=-8, b=0}\)
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ (-8)^{2} }=8}\)

\(\displaystyle{ 0 \le \varphi < 2\pi}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi =-1}\)
\(\displaystyle{ sin\varphi =0}\)

\(\displaystyle{ \varphi=\pi}\)


A teraz obliczyć, podstawiając do wzoru na pierwiastki liczb zespolonych.

Bardzo proszę o odpowiedź i jeśli jest to błędne rozwiązanie o wytłumaczenie, dlaczego jest nieprawidłowe.

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ x^4 - 1 = 0}\) zrobiłem chyba wyszło mi że \(\displaystyle{ x= \{1;-1;j\}}\)

Krótko pisząc: Równanie wielomianowe n-tego stopnia ma n rozwiązań*) w zbiorze liczb zespolonych!

*) gdzie wszystkie pierwiastki są pojedyncze. W przypadku mniejszej liczby różnych rozwiązań suma krotności tychże rozwiązań jest równa n.