Oblicz wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ \frac{\left(-1+i \sqrt{3\right) ^{15} } }{\left(1-i\right) ^{20} }}\)+ \(\displaystyle{ \frac{\left(-1-i \sqrt{3\right) ^{15} } }{\left(1+i\right) ^{20} }}\)
Oblicz wartość wyrażenia
-
loocash1989
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 21 kwie 2008, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Konin
- Podziękował: 7 razy
-
kedziol
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 15 lis 2008, o 16:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Pomógł: 1 raz
Oblicz wartość wyrażenia
stary daj mi chwile
[ Dodano: 15 Listopada 2008, 20:40 ]
z obu ułamków robimy oddzielne wyrażenie, oddzielnie licznik i mianownik więc w sumie szukamy wartości 4 zespolonych na koniec skleimy to korzystając z działań na potęgach.
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{2}{4}}\)
1.
\(\displaystyle{ (-1+i \sqrt{3}) ^{15}}\)
\(\displaystyle{ \left|z \right| = \sqrt{1+3} = \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{-1}{2}}\) \(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \frac{2}{3} \phi}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15} (\cos10\pi + i\sin 10\pi)}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15} (1 + 0)}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15}}\)
2.
\(\displaystyle{ (-1-i \sqrt{3}) ^{15}}\)
\(\displaystyle{ \left|z \right| = \sqrt{1+3} = \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{-1}{2}}\) \(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{ -\sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \frac{4}{3} \phi}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15} (\cos20\pi + i\sin 20\pi)}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15} (1 + 0)}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15}}\)
3.
\(\displaystyle{ (1-i) ^{20}}\)
\(\displaystyle{ \left|z \right| = \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) \(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{ -\sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \frac{7\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{20} (\cos 35\pi + i\sin35\pi) = \sqrt{2}^{20} (-1 + 0) = (-2^{ \frac{1}{2} } ) ^{20} = -2 ^{10}}\)
4.
\(\displaystyle{ (1+i) ^{20}}\)
\(\displaystyle{ \left|z \right| = \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) \(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{20} (\cos 5\pi + i\sin5\pi) = \sqrt{2}^{20} (-1 + 0) = (-2^{ \frac{1}{2} } ) ^{20} = -2 ^{10}}\)
teraz działania na potęgach czyli:
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{15}}{-2 ^{10}} + \frac{2 ^{15}}{-2 ^{10}} = -2 ( \frac{2 ^{15} }{2 ^{10} } ) = -2 (2 ^{5}) = -(2 ^{6} ) = -64}\)
No więc w sumie zadanie polega na złożeniu kilku podstawowych zadanek. Pozdro Lucas
[ Dodano: 15 Listopada 2008, 20:40 ]
z obu ułamków robimy oddzielne wyrażenie, oddzielnie licznik i mianownik więc w sumie szukamy wartości 4 zespolonych na koniec skleimy to korzystając z działań na potęgach.
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{2}{4}}\)
1.
\(\displaystyle{ (-1+i \sqrt{3}) ^{15}}\)
\(\displaystyle{ \left|z \right| = \sqrt{1+3} = \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{-1}{2}}\) \(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \frac{2}{3} \phi}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15} (\cos10\pi + i\sin 10\pi)}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15} (1 + 0)}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15}}\)
2.
\(\displaystyle{ (-1-i \sqrt{3}) ^{15}}\)
\(\displaystyle{ \left|z \right| = \sqrt{1+3} = \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{-1}{2}}\) \(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{ -\sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \frac{4}{3} \phi}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15} (\cos20\pi + i\sin 20\pi)}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15} (1 + 0)}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{15}}\)
3.
\(\displaystyle{ (1-i) ^{20}}\)
\(\displaystyle{ \left|z \right| = \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) \(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{ -\sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \frac{7\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{20} (\cos 35\pi + i\sin35\pi) = \sqrt{2}^{20} (-1 + 0) = (-2^{ \frac{1}{2} } ) ^{20} = -2 ^{10}}\)
4.
\(\displaystyle{ (1+i) ^{20}}\)
\(\displaystyle{ \left|z \right| = \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) \(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{20} (\cos 5\pi + i\sin5\pi) = \sqrt{2}^{20} (-1 + 0) = (-2^{ \frac{1}{2} } ) ^{20} = -2 ^{10}}\)
teraz działania na potęgach czyli:
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{15}}{-2 ^{10}} + \frac{2 ^{15}}{-2 ^{10}} = -2 ( \frac{2 ^{15} }{2 ^{10} } ) = -2 (2 ^{5}) = -(2 ^{6} ) = -64}\)
No więc w sumie zadanie polega na złożeniu kilku podstawowych zadanek. Pozdro Lucas