równanie w ciele liczb zespolonych

[drow]

proszę o sprawdzenie moich wypocin

1. Znaleźć wszystkie rozwiązania zespolone równania:

\(\displaystyle{ \left| z-1 \right| - \overline{z} = 1+2i}\)

ja zacząłem robić to tak:

\(\displaystyle{ \left| x+iy - 1 \right| - x+iy - 1 -2i =0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^{2} +y^{2}} - (x-1) + (y-2) = 0}\)

podnioslem to do kwadratu

\(\displaystyle{ (x-1)^{2} - (x-1)^{2} + y^{2} + (y-2)^{2} = 0}\)

potem wychodzi

\(\displaystyle{ 2y^{2} - 4y+4 = 0}\)

i w tym momencie nie wiem czy wszystko jest dobrze... można obliczyć deltę ale co z nią potem zrobic? proszę o sprawdzenie i ewnetualne poprawienie i dokonczenie tego zadanka... kolos z matmy incoming :/

[Lorek]

Dość oryginalnie podnosisz do kwadratu.
\(\displaystyle{ |z-1|=1+2i+\overline{z}}\)
po lewej mamy liczbę rzeczywistą nieujemną czyli po prawej też taką mamy, stąd \(\displaystyle{ z=x+2i,\; x\ge -1}\)
i nasze równanie
\(\displaystyle{ |x-1+2i|=1+x}\)
a to już jest łatwe

[drow]

qrcze nie wiem dlaczego

\(\displaystyle{ z=x+2i,\; x\ge -1}\)

dlaczego pod y podstawiles 2? (bo z=x+iy). Mógłbyś to jakoś łopatologicznie wytlumaczyc?

[Lorek]

\(\displaystyle{ 1+2i+\overline{z}\in\mathbb{R_+}\cup\{0\}\iff \Re(1+2i+\overline {z})\ge 0 \Im (1+2i+\overline{z})=0\iff x\ge -1\wedge y=2}\)