Rozwiąż równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Macius700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 11 maja 2008, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 27 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Macius700 »

Rozwiąż równanie :

\(\displaystyle{ \overline{z} z^4=32}\)
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Wasilewski »

Proponuję przedstawić te liczby w postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ z = |z| e^{i\varphi} \\
\overline{z} = |z| e^{-i\varphi}}\)
Macius700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 11 maja 2008, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 27 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Macius700 »

\(\displaystyle{ \overline{z} z^4=32}\)
\(\displaystyle{ |z| e^{-i\varphi} |z|^4 e^{4i \varphi}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}|z| |z|^4=32 \\-\varphi+4\varphi=0+2k/pi\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} |z|^5=32 \\3\varphi=0+2k\pi\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}|z| |z|=2 \\\varphi=\frac{2}{3}k\pi\end{array}}\)

\(\displaystyle{ z=2\cot e^{\frac{2}{3}k\pi}}\)

Dobrze ? Ile bedzie takich liczb ? Bo ile nie wiem ile wartosci wstawiać za k , bo miałem w szkole taki przykład ze wstawiałem za \(\displaystyle{ k=1,2,3,4,5}\) od czego to zależy ?
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Wasilewski »

Możesz na przykład wstawić 0,1 i 2. Dla większych (i mniejszych) k będą to te kąty powiększone (pomniejszone) o \(\displaystyle{ 2n\pi}\), co nic nie zmienia. W wyniku zapomniałeś o i w wykładniku, i nie wiem, czemu jest tam jakiś cotangens. I jeszcze w układzie równań napisałeś \(\displaystyle{ |z| |z| = 2}\) zamiast \(\displaystyle{ |z| = 2}\).
ODPOWIEDZ