Czy poniższe zadanie jest prawidłowo rozwiązane? Próbuję zrozumieć zasady dzielenia i pierwiastkowania liczb zespolonych, ale mam z tym duże problemy. Dlaczego zmieniamy znak przy mnożeniu przez liczbę sprzężoną?
\(\displaystyle{ z=\frac{i(i+4)}{i+1}=\frac{1^{2}+4i}{i+1}=\frac{(-1+4i)(i-1)}{(i+1)(i-1)}=\frac{-1+1+4i^{2}-4i}{i^{2}-1}=
\frac{-i+1-4-4i}{-1-1}=\frac{-5i-3}{-2}=\frac{5i}{2}+\frac{3}{2}}\)
Mam "uczulenie" na matematykę, a muszę się z nią męczyć 1,5 roku. Boję się, ze matematyka i fizyka mogą być moimi "gwoździami do trumny", proszę więc o pomoc. Tłumaczenia, które znalazłem w sieci są dla mnie nie do końca zrozumiałe (delikatnie mówiąc).
A tego to już w ogóle nie rozumiem. Ktoś mógłby opisać krok po kroku jak to jest rozwiązywane?
\(\displaystyle{ Re(z^{2}-2)=\overline{z}\\
z=a+bi\\
Re((a+bi)^{2}-2)=\overline{a+bi}\\
Re(a^{2}+2abi+(bi^{2}-2)=a-bi\\
(a^{2}+2abi-b^{2}-2)=a-bi\\
a^{2}-b^{2}-2=a-bi\\
a^{2}-b^{2}-2=a\\
0=-b\\
a^{2}-0-2=a\\
a^{2}-2=a\\
a^{2}-2-a=0\\
\Delta=a^{2}-4ac\\
\Delta=48\\
\sqrt{\Delta}=3\\
a_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
a_{1}=2\\
a_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
a_{2}=1\\
z=2\\
z=-1}\)
Znalazłem w książce Grzymkowskiego coś takiego:
Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \overline{z}=z^{2}}\)
Krótkie, ale niezrozumiałe. Jak się do tego zabrać?
Liczby zespolone - o co w tym chodzi?
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Liczby zespolone - o co w tym chodzi?
1. Wszystko ok, tylko po dordze pozamieniales dwa razy 1 z i Tzn.
\(\displaystyle{ z=\frac{i(i+4)}{i+1}=\frac{i^2+4i}{i+1}=\frac{(-1+4i)(i-1)}{(i+1)(i-1)}=\frac{-i+1+4i^2-4i}{i^2-1}= \frac{-i+1-4-4i}{-1-1}=\frac{-5i-3}{-2}=\frac{5i}{2}+\frac{3}{2}}\)
2. 3. Niestety tutaj wystarczy prosta znajomosc podstaw oraz wlasnosci liczb zspolonych... Przestudiuj moze chociazby wikipedie by znalezc potrzebne do tego informacje... Bo ogolnie:
\(\displaystyle{ z=x+iy\\
\overline{z}=x-iy\\
\Re(z)=x\\
\Im(z)=y\\
w=a+bi\\
z=w\;\;\iff\;\;x=a\;\wedge\;y=b\\}\)
Zgodnie z tym mozesz rozwiazac trzecie rownanie, tj:
\(\displaystyle{ \overline{z}=z^2\\
\overline{z}-z^2=0\\
z=x+iy\\
x-iy-(x^2+2xyi-y^2)=0\\
x-iy-x^2-2xyi+y^2=0\\
x-x^2+y^2+i(-y-2xy)=0\\
\begin{cases}
x-x^2+y^2=0\\
-y-2xy=0\end{cases}\\
\begin{cases}
x-x^2+y^2=0\\
y(1+2x)=0\end{cases}\\}\)
No i wystarczy dalej rozwiazac ten uklad by otrzymac zapewne dwa rozwiazania, dla \(\displaystyle{ y=0}\) oraz \(\displaystyle{ =x=-\frac{1}{2}}\).
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ z=\frac{i(i+4)}{i+1}=\frac{i^2+4i}{i+1}=\frac{(-1+4i)(i-1)}{(i+1)(i-1)}=\frac{-i+1+4i^2-4i}{i^2-1}= \frac{-i+1-4-4i}{-1-1}=\frac{-5i-3}{-2}=\frac{5i}{2}+\frac{3}{2}}\)
2. 3. Niestety tutaj wystarczy prosta znajomosc podstaw oraz wlasnosci liczb zspolonych... Przestudiuj moze chociazby wikipedie by znalezc potrzebne do tego informacje... Bo ogolnie:
\(\displaystyle{ z=x+iy\\
\overline{z}=x-iy\\
\Re(z)=x\\
\Im(z)=y\\
w=a+bi\\
z=w\;\;\iff\;\;x=a\;\wedge\;y=b\\}\)
Zgodnie z tym mozesz rozwiazac trzecie rownanie, tj:
\(\displaystyle{ \overline{z}=z^2\\
\overline{z}-z^2=0\\
z=x+iy\\
x-iy-(x^2+2xyi-y^2)=0\\
x-iy-x^2-2xyi+y^2=0\\
x-x^2+y^2+i(-y-2xy)=0\\
\begin{cases}
x-x^2+y^2=0\\
-y-2xy=0\end{cases}\\
\begin{cases}
x-x^2+y^2=0\\
y(1+2x)=0\end{cases}\\}\)
No i wystarczy dalej rozwiazac ten uklad by otrzymac zapewne dwa rozwiazania, dla \(\displaystyle{ y=0}\) oraz \(\displaystyle{ =x=-\frac{1}{2}}\).
Pozdrawiam.