Argument liczby zespolonej - kilka niejasności...

[ŚwIeRsZcZ]

Witam ! Mam taki problem przy zadaniach w których to muszę np. przedstawić postać tryg. liczby zespolonej. Dokładniej chodzi o wyliczanie argumentu \(\displaystyle{ \varphi}\) liczby zespolonej : \(\displaystyle{ \varphi=argz}\)

No więc rozpatrzmy kilka przypadków (pomijam całe równania, będę pisał tylko wartości dla odpowiednio wyliczonego \(\displaystyle{ \cos}\) i \(\displaystyle{ \sin}\) :

1.
\(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
i teraz pytanie czemu \(\displaystyle{ argz=-\frac{3\pi}{4}}\) ,a nie (tak jak ja bym liczył- czyli kąt zaczynając od I , II ćwiartki i dodając te ostatnie 45 stopni: \(\displaystyle{ argz=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}}\) ??

podobnie z innym przykładem:

2.
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{1}{2}}\)
i teraz skąd wiemy że \(\displaystyle{ argz=-\frac{\pi}{6}}\) , a nie \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\)+ ten ostatni kąt do wektora , którego i tak nie wiem jak znaleźć, bo w tablicach nie ma określonego wspólnego kąta dla wartości \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{1}{2}}\)

i jeszcze jeden przykład:

3.
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
i znowu... czemu \(\displaystyle{ argz=-\frac{\pi}{3}}\) (czyli od razu ten kąt wyznaczony przez oś OX i wektor , a nie kąt idący przez wszystki kolejno ćwiartki układu współrzędnych, czemu tak ?? :/

Z góry dziękuje za pomoc i jakieś logiczne wytłumaczenie...

[Grzegorz t]

może być i tak i tak, W zasadzie to z definicji argumentu liczby zespolonej wynika, że arg. liczby zespolonej nazywamy miarę kata zorientowanego \(\displaystyle{ \phi}\) utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej oraz promień wodzący liczby zespolonej, czyli wg. definicji powinno być
\(\displaystyle{ arg z= -\frac{3}{4}\pi}\), bo liczba zespolona leży w trzeciej ćwiartce układu.

popatrz na poniższy przykład

\(\displaystyle{ -2i=2(cos \frac{3}{2}\pi+isin \frac{3}{2}\pi), argz= \frac{3}{2}\pi}\)

\(\displaystyle{ -2i=2(cos(- \frac{\pi}{2})+isin(- \frac{\pi}{2})), argz=- \frac{\pi}{2}}\)

[ŚwIeRsZcZ]

Ok, to już zrozumiałem , nie wiedziałem że z definicji argz = kąt miedzy dodatnią OX i wektorem.

Teraz moje drugie pytanie... Na egzaminie nie mogę mieć tablic tryg. ,skąd w takim razie wiemy że dla:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ argz=-\frac{\pi}{6}}\)