Chciałbym prosi o pomoc w zadaniu:
Korzystając z postaci trygonometrycznej i kanonicznej liczby \(\displaystyle{ \frac{1+ \sqrt{3}i }{1+i}}\) obliczyc:
\(\displaystyle{ sin \frac{\pi}{12}}\) oraz \(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{12}}\)
Postac kanoniczna i trygonometryczna
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Postac kanoniczna i trygonometryczna
Raz
\(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{3}i}{1+i}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{(\sqrt{3}-1)i}{2}=\sqrt{2}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+i\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)}\)
dwa
\(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{3}i}{1+i}=\sqrt{2}\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i}=\sqrt{2}\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\frac{e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{4}}}=\\\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12})}\)
wniosek prosty
\(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{3}i}{1+i}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{(\sqrt{3}-1)i}{2}=\sqrt{2}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+i\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)}\)
dwa
\(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{3}i}{1+i}=\sqrt{2}\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i}=\sqrt{2}\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\frac{e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{4}}}=\\\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12})}\)
wniosek prosty