Witam
Proszę o pomoc z tym przykładem:
\(\displaystyle{ (\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i})^{20}}\)
Dzięki za ewentualną pomoc
wyrażenie z liczbami zespolonymi
-
Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
wyrażenie z liczbami zespolonymi
\(\displaystyle{ z_1=1+i\sqrt{3} \\
|z_1|=2 \\
\begin{cases} \cos \varphi = \frac{1}{2} \\ \sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \\
\varphi_1 = \frac{\pi}{3} \\
z_2=1-i \\
|z_2|=\sqrt{2} \\
\begin{cases} \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \varphi = \frac{-1}{\sqrt{2}} \end{cases} \\
\varphi_2 = \frac{7\pi}{4} \\
... = ft(\frac{z_1}{z_2}\right)^{20} = \frac{2^{20}(\cos \frac{20\pi}{3} + i\sin \frac{20\pi}{3})}{(\sqrt{2})^{20}(\cos \frac{140\pi}{4}+i\sin \frac{140\pi}{4})} = \frac{2^{10}(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3})}{\cos \pi+i\sin \pi} = \\ = 2^{10}[\cos (-\frac{\pi}{3})+i\sin (-\frac{\pi}{3})] = 2^{10}(\cos \frac{\pi}{3}-i\sin \frac{\pi}{3}) = 2^{10}(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^9(1-i\sqrt3)}\)
|z_1|=2 \\
\begin{cases} \cos \varphi = \frac{1}{2} \\ \sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \\
\varphi_1 = \frac{\pi}{3} \\
z_2=1-i \\
|z_2|=\sqrt{2} \\
\begin{cases} \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \varphi = \frac{-1}{\sqrt{2}} \end{cases} \\
\varphi_2 = \frac{7\pi}{4} \\
... = ft(\frac{z_1}{z_2}\right)^{20} = \frac{2^{20}(\cos \frac{20\pi}{3} + i\sin \frac{20\pi}{3})}{(\sqrt{2})^{20}(\cos \frac{140\pi}{4}+i\sin \frac{140\pi}{4})} = \frac{2^{10}(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3})}{\cos \pi+i\sin \pi} = \\ = 2^{10}[\cos (-\frac{\pi}{3})+i\sin (-\frac{\pi}{3})] = 2^{10}(\cos \frac{\pi}{3}-i\sin \frac{\pi}{3}) = 2^{10}(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^9(1-i\sqrt3)}\)