Równania na liczbach zespolonych

[Karolcio]

Witam,

Mam problem z tymi oto zadaniami:

1) Znajdz wszystkie liczby zespolone z, ktore sa rozwiazaniami rownania:

\(\displaystyle{ iz^{2} - 3iz + 3i - 1 = 0}\)

2) Oblicz czesc rzeczywista i urojona liczby:

\(\displaystyle{ z= (\sqrt{15} + i \sqrt{5} ) ^{20}}\)

\(\displaystyle{ z= (i^{5} + i^{6} ) ^{20}}\)

Bardzo bym prosil o pomoc. Bede bardzo wdzieczny.
Pozdrawiam

Para klamer

Kod: Zaznacz cały

[tex][/tex]

na całe wyrażenie
Szemek[/color]

[Szemek]

1)
\(\displaystyle{ iz^{2} - 3iz + 3i - 1 = 0 \\
-z^2+3z-3-i=0 \\
z^2-3z+3+i=0 \\
\Delta = 9-4(3+i) = -3-4i \\
\sqrt{\Delta}=\sqrt{-3-4i}
(a+bi)^2=-3-4i \\
a^2-b^2+2abi=-3-4i \\
\begin{cases} a^2-b^2=-3 \\ 2abi=-4i \end{cases} \\
\begin{cases} a^2-b^2=-3 \\ ab=-2 \end{cases} \\
\begin{cases} a=1 \\ b=-2 \end{cases} \begin{cases} a=-1 \\ b=2 \end{cases} \\
\sqrt{\Delta}=\pm(1-2i) \\
z_1=\frac{3+(1-2i)}{2} \quad z_2=\frac{3-(1-2i)}{2} \\
z_1=2-i \quad z_2=1+i}\)

[ Dodano: 11 Listopada 2008, 16:34 ]
2)
\(\displaystyle{ z= (\sqrt{15} + i \sqrt{5} ) ^{20} = (\sqrt{5})^{20}(\sqrt{3}+i)^{20} = ... \\
\\
w=\sqrt{3}+i \\
|w|=2 \\
\begin{cases} \cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \varphi = \frac{1}{2} \end{cases} \\
\varphi = \frac{\pi}{6} \\
\\
ft{ z =5^{10} 2^{20}(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})^{20} = 20^{10}(\cos \frac{20\pi}{6}+i\sin \frac{20\pi}{6}) = 20^{10}(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}) = 20^{10}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}) \right} \\
\Re (z) = -\frac{20^{10}}{2} \\
\Im (z) = -\frac{20^{10}\sqrt{3}}{2}}\)

########

\(\displaystyle{ z= (i^{5} + i^{6} ) ^{20} = (i-1)^{20} = (1-i)^{20} \\
\\
w=1-i \\
|w|=\sqrt{2} \\
\begin{cases} \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt2} \\ \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt2} \end{cases} \\
\varphi = \frac{7\pi}{4} \\
\\
ft{ z=(\sqrt2)^{20} (\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4})^{20} = 2^{10} (\cos \frac{140\pi}{4}+i\sin \frac{140\pi}{4}) = 1024(\cos \pi+i\sin \pi) = -1024 \right} \\
\Re(z)=-1024 \\
\Im(z)=0}\)

[Karolcio]

Dzieki wielkie, ale teraz czy moglbys mi wytlumaczyc skad lub jak zrobiles to:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos\varphi= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sin\varphi= \frac{1}{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \varphi= \frac{\pi}{6}}\)

[tommik]

Możesz to w tablicach sprawdzić.
Zresztą wartości dla tych podstawowych kątów trzeba znać!