rozne typy zadan z l.zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

rozne typy zadan z l.zespolonych

Post autor: evelinaa »

Przedstaw w postaci trygonometrycznej:
1. -5
moduł r=5
i własnie teraz mam problem z zapisaniem tego, bo w koncu mam sam x, nie mam iy.
-5=5(-1+0) ?
2.tutaj odwrotna sytuacja :
2i, moduł r=2
2i=2(0+i)?

Oblicz :
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\)
moduł r=\(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\)
teraz jak chce napisac postac trygonometryczna to biore pod uwage , że to wyrazenie znajduje sie pod pierwiastkiem czy pisze : -3-4i=\(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\)\(\displaystyle{ (-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}\sqrt{3})}\) , dobrze jest policzone do tej pory? i jak to robic dalej, bo nic mi nie wychodzi ;/ ?
Kris.pl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 10 lis 2008, o 18:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: w-wa
Podziękował: 1 raz

rozne typy zadan z l.zespolonych

Post autor: Kris.pl »

evelinaa pisze: Oblicz :
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\)
moduł r=\(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\)
teraz jak chce napisac postac trygonometryczna to biore pod uwage , że to wyrazenie znajduje sie pod pierwiastkiem czy pisze : -3-4i=\(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\)\(\displaystyle{ (-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}\sqrt{3})}\) , dobrze jest policzone do tej pory? i jak to robic dalej, bo nic mi nie wychodzi ;/ ?
Ja bym to zrobił tak:

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ a^{2}+ b^{2} }}\) gdzie a=-3 , b=-4

dalej: \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{a}{|z|}}\) a \(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{b}{|z|}}\)

dalej: \(\displaystyle{ \alpha =arccos \frac{a}{|z|} \vee \alpha = arcsin \frac{b}{|z|}}\)

dalej podstawiamy do wzoru Moivre'a:\(\displaystyle{ \sqrt[n]{|z|}(cos \frac{ \alpha +2k\pi }{n}+jsin \frac{ \alpha +2k\pi}{n})}\)

gdzie n=2 bo jest to pierwiastek drugiego stopnia i k={0,1}

powinno być dobrze ;)
evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

rozne typy zadan z l.zespolonych

Post autor: evelinaa »

znalezc wszystkie pierwiastki rownania: jaka jest tutaj metoda postepowania w przypadku takich rownan?
\(\displaystyle{ {x^5}-1024=0}\)
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

rozne typy zadan z l.zespolonych

Post autor: soku11 »

Mozesz albo podstawic:
\(\displaystyle{ x=a+bi\\
(a+bi)^5=1024\\}\)


I wtedy rozwijasz lewa strone i rozwiazujesz w tym przypadku potezny uklad rownan. Albo prosciej przerzucasz na prawa strone, zapisujesz w postaci trygonometrycznej i stosujesz wzory na pierwiastki liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ x^5=1024(1+0i)\\
x^5=1024(\cos 0+i\sin 0)\\
x_k=\sqrt[5]{1025}\left(\cos \frac{0+2k\pi}{5}+i\sin\frac{0+2k\pi}{5} \right)\;\;\;k\in\{0,1,2,3,4\}\\
x_k=2\left(\cos \frac{2k\pi}{5}+i\sin\frac{2k\pi}{5} \right)\;\;\;k\in\{0,1,2,3,4\}\\}\)


Podstawiasz te 5 wartosci k i otrzymasz 5 pierwiastkow (w tym bodajze tylko jeden rzeczywisty: 2).

Pozdrawiam
evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

rozne typy zadan z l.zespolonych

Post autor: evelinaa »

a mozesz rozpisac jeszcze dla przykladu z2?

i jeszcze inny, podobny przyklad :

\(\displaystyle{ {x}^4 +4=0}\)
\(\displaystyle{ {x}^4=-4}\)
\(\displaystyle{ {x}^4=-4(1+0i)}\)
i dalej tak samo sie robi jak w powyzszym przykladzie? bo tak proboje robic, ale wyniki inne mam niz w ksiazce;/
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

rozne typy zadan z l.zespolonych

Post autor: soku11 »

\(\displaystyle{ x_2=2\left(\cos \frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5} \right)=
2\left(\cos \frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5} \right)}\)


Dalej chyba juz nic nie zrobisz bo nie znasz wartosci funkcji trygonometrynczych dla kata \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}}\).

Drugi tak samo, tylko jedna rzecz - modul liczby zespolonej nie moze byc ujemny! Tzn:
\(\displaystyle{ x^4+4=0\\
x^4=-4\\
x^4=4(-1+0i)=
x^4=4\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)\\
x_k=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)\;\;\;k\in\{0,1,2,3\}}\)


Pozdrawiam.
evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

rozne typy zadan z l.zespolonych

Post autor: evelinaa »

soku11 pisze:\(\displaystyle{ x_2=2\left(\cos \frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5} \right)=
2\left(\cos \frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5} \right)}\)

i mozna to juz zostawic w takiej postaci? bo w koncu wartosc sinusa i cosinusa \(\displaystyle{ \frac{4\pi}{5}}\) nie odpowiada 30,45,czy 60 stopniom,zeby to mozna bylo latwo wyliczyc...

[ Dodano: 11 Listopada 2008, 16:04 ]
ostatni przyklad tego typu:

\(\displaystyle{ {x}^4-i=0}\)
\(\displaystyle{ {x}^4=i}\) , \(\displaystyle{ {x}^4=1(0 + 1i)}\)=\(\displaystyle{ 4(cos\frac\pi{2}+ isin\frac\pi{2})}\)
\(\displaystyle{ z_2}\)=\(\displaystyle{ (cos\frac\pi{8}+isin\frac\pi{8})}\) no i znowu nie wiem czy zostawic to w takiej postaci? bo nie wiem jak to dalej wyliczac
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

rozne typy zadan z l.zespolonych

Post autor: soku11 »

W ostatecznosci mozesz odczytac przyblizona wartosc, jednak nie widze w tym wiekszego sensu

W drugim troche namieszalas
\(\displaystyle{ x_4=i=1(0+1i)=1\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=
\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\\
x_k=\cos \frac{ \frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}+i\sin \frac{ \frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}\;\;\;k\in\{0,1,2,3\}\\
x_2=\cos \frac{ \frac{\pi}{2}+4\pi}{4}+i\sin \frac{ \frac{\pi}{2}+4\pi}{4}=
\cos \frac{9\pi}{8}=i\sin \frac{9\pi}{8}=
\cos ft(\pi+ \frac{\pi}{8}\right)+i\sin\left(\pi+\frac{\pi}{8}\right)}\)


Mozesz to tak zostawic, lub skorzytac z faktu, ze:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}\frac{\pi}{4}}\)

Sa na to jakies tam wzory Pozdrawiam.
evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

rozne typy zadan z l.zespolonych

Post autor: evelinaa »

Mam pytanie odnosnie pierwiastkow liczb zespolonych.
zad.
\(\displaystyle{ \sqrt{-15+8i} =x+iy}\) obliczylam z tego dwa pierwiastki z delt :
1) \(\displaystyle{ -1-4i}\) i drugi \(\displaystyle{ 1+4i}\)
tylko teraz nie wiem skad sie bierze jakies \(\displaystyle{ z_1}\)=\(\displaystyle{ \frac{-1-1-4i}{2}}\) i \(\displaystyle{ z_2}\)=\(\displaystyle{ \frac{-1+1+4i}{2}}\) . tzn widze,ze w liczniku po -1 są wyniki,ktore wyszly z wczesniejszego obliczenia, 2 to pewnie stopien pierwiastka, ale skad sie bierze ta -1?
ODPOWIEDZ