Witam, mam mały problem z tym zadaniem... Wyprowadzić ogólny wzór na \(\displaystyle{ \sqrt{a + bj}}\)
Wiem że wynik ma wyglądać następująco: \(\displaystyle{ \pm( \sqrt{ \frac{a+|z|}{2} }+jsgnb \sqrt{ \frac{-a+|z|}{2} })}\)
Męczyłem się nad tym sporo czasu, ale coś nie chce wyjść
pomysł miałem taki: \(\displaystyle{ z^{2}=a+bj=(x+yj)^{2}= x^{2}- y^{2}+2xyj}\)
dalej przekształcamy rozwiązując układ równań: \(\displaystyle{ x^{2}- y^{2}=a}\) i \(\displaystyle{ 2xyj=bj}\)
rozwiązałem i wyszło: \(\displaystyle{ y= \sqrt{ \frac{-a+|z|}{2} }}\)
a dla :\(\displaystyle{ x=\pm \frac{b}{2} \sqrt{ \frac{2}{-a+|z|} }}\)
i teraz mam problem jak z tego co obliczyłem złożyć szukany wynik..., no chyba ze się nie da bo źle się za to zabrałem... próbowałem jeszcze coś kombinować z postacią trygonometryczna ale tam tym bardziej nie chce pasować.
Wyprowadzić ogólny wzór na...
-
Lukasz_C747
- Użytkownik
- Posty: 394
- Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
- Pomógł: 99 razy
Wyprowadzić ogólny wzór na...
Zaczynasz tak jak ty to robiłeś. Tylko z równania z kwadratami wyprowadzasz x (zakładam, że chcesz mieć jak w odpowiedziach ;] ). Następnie:
\(\displaystyle{ x = \sqrt{\frac{a+|z|}{2}}\\
y = \frac{b}{2}\sqrt{\frac{2}{|z|+a}} = \frac{b}{2}\sqrt{\frac{2(|z|-a)}{(|z|+a)(|z|-a)}} = \frac{b}{2}\sqrt{\frac{2(|z|-a)}{a^2+b^2-a^2}} = sgn(b)\sqrt{\frac{2b^2(|z|-a)}{4b^2}} = sgn(b)\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}}\)
Sgn się bierze się stąd:
\(\displaystyle{ \sqrt{b^2} = |b|}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt{\frac{a+|z|}{2}}\\
y = \frac{b}{2}\sqrt{\frac{2}{|z|+a}} = \frac{b}{2}\sqrt{\frac{2(|z|-a)}{(|z|+a)(|z|-a)}} = \frac{b}{2}\sqrt{\frac{2(|z|-a)}{a^2+b^2-a^2}} = sgn(b)\sqrt{\frac{2b^2(|z|-a)}{4b^2}} = sgn(b)\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}}\)
Sgn się bierze się stąd:
\(\displaystyle{ \sqrt{b^2} = |b|}\)