Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające warunki

[DamIIIian]

a) \(\displaystyle{ z ^{2} + 4i = 0}\)
b) \(\displaystyle{ Re z - 3Im z = 2}\)
d) \(\displaystyle{ \frac{z + 2}{i - 1} = \frac{3z + 1}{2 + i}}\)


One raczej nie są trudne, problem w tym, że dopiero zaczynam się bawić w liczby zespolone i nie za bardzo mam pojęcie jak je wyznaczyć.
Zadania pochodzą z "Algebry liniowej 1" Z. Skoczylasa

[soku11]

a)
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
z^2 &\;=\;& -4i\\
z^2 &\;=\;& 4(-i)\\
z^2 &\;=\;& 4\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right)\\
z_k &\;=\;& 2\left(\cos \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{2}+i\sin \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{2}\right),\;\;\;k\in\{0,1\}
\end{eqnarray*}}\)

[ Dodano: 8 Listopada 2008, 13:39 ]
b)
\(\displaystyle{ z=x+iy\\
\Re(z)=x\;\;\;\Im(z)=y\\
\Re (z) - 3\Im (z) = 2\\
x-3y=2\\
3y=x-2\\
y=\frac{x}{3}-\frac{2}{3}\\
z=x+\frac{i}{3}(x-2),\;\;\;x\in\mathbb{R}}\)

[ Dodano: 8 Listopada 2008, 13:47 ]
d)
\(\displaystyle{ \begin{eqnarra*}
z &\;=\;& x+iy\\
\frac{z + 2}{i - 1} &\;=\;& \frac{3z + 1}{2 + i} \\
\frac{(x+2)+iy}{i-1} &\;=\;& \frac{(3x+1)+3iy}{2+i}\\
\frac{[(x+2)+iy](i+1)}{(i-1)(i+1)} &\;=\;& \frac{[(3x+1)+3iy](2-i)}{(2+i)(2-i)}\\
\frac{[(x+2)+iy](i+1)}{-2} &\;=\;& \frac{[(3x+1)+3iy](2-i)}{5}\\
-5[(x+2)+iy](i+1) &\;=\;& 2[(3x+1)+3iy](2-i)\\
&\;\ldots\;&
\end{eqnarray*}}\)

Przemnozyc i przyrownac Pozdrawiam.

[DamIIIian]

Dzięki, ale raczej nie o to chodzi, bo widzę że ty poszedłeś na całego z trygonometrią
Z pierwszego zadania wynik który powinien wyjść to: \(\displaystyle{ \sqrt{2}(1-i)}\) oraz \(\displaystyle{ -\sqrt{2}(1-i)}\)

I ja jak na razie idę w tym kierunku
\(\displaystyle{ z ^{2} + 4i = 0}\)
postać algebraiczna liczby zespolonej to:
\(\displaystyle{ z = x + iy}\)
podstawiając do zadania:
\(\displaystyle{ (x + yi) ^{2} + 4i = 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} - y ^{2} + 2xyi + 4i = 0}\)

układając z tego układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{case} x ^{2} - y ^{2} = 0 \\2xy + 4 = 0 \end{case}}\)

I tu się zawieszam

Odpowiedzi do pozostałych to:
b) \(\displaystyle{ 2 + 3y + iy, y R}\)
d) \(\displaystyle{ -\frac{19}{29} -\frac{19}{29}i}\)

[scyth]

I tu się zawieszam

z pierwszej równości masz:
\(\displaystyle{ (x-y)(x+y)=0 \\
x=y \ \ x=-y}\)
I już chyba dalej jakoś pójdzie.

[soku11]

b) Wyznacz x(y), a nie tak jak ja y(x) i podstaw. Otrzymasz wynik z odpowiedzi.
c) Wystarczy wymnozyc, ale mi sie nie chce, bo to nie moja praca domowa
a) scyth ma racja - mozna tak rozwiazac.


Pozdrawiam.

[DamIIIian]

a) wzór pomógł
soku11 w d) nie wyszedłby ci taki wynik jak podałem bo... zamiast i napisałem 1 (w zadaniu jest \(\displaystyle{ 3z + 1}\) a powinno być \(\displaystyle{ 3z + i}\) )
Po obliczeniu, we wszystkich 3 wyszły wyniki takie jak w odpowiedziach.

Dziękuję za czas i cierpliwość - punkty dla was

[wonap]

to moze ktos rozpisac prawidlowo ten przyklad d? bo cos mi nie wychodzi