Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone:
a) \(\displaystyle{ \sqrt{3} - 1}\)
b) \(\displaystyle{ 2i}\)
c) \(\displaystyle{ 3}\)
d) \(\displaystyle{ (1+i)^{n}}\)
Proszę o pomoc bo kompletnie nie mam pojecia jak sie za to zabrać z góry serdecznie dziekuje
Dokładniej nazywaj tematy, "Liczby zespolone" w dziale "Liczby zespolone" to nie najmądrzejszy temat...
Pamiętaj o klamrach
Skorzystamy ze wzorów:
(1) Moduł liczby zespolonej:
Dla liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=a+bi}\), jej moduł wynosi \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{a ^{2} +b ^{2} }}\)
(2) Postać trygonometryczna \(\displaystyle{ z=|z|(cos\phi + isin\phi)}\), gdzie \(\displaystyle{ \frac{a}{|z|}=cos\phi}\) , \(\displaystyle{ \frac{b}{|z|}=sin\phi}\)
(3) Wzór de Moivre'a \(\displaystyle{ z^{n}=|z|^{n}(cos\phi + isin\phi)^n=|z|^{n}(cosn\phi + isinn\phi)}\)
a)
W pierwszej kolejności musimy wyliczyć moduł liczby zespolonej:
Moduł liczby \(\displaystyle{ z=\sqrt{3} - i}\) wynosi \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=2}\)
Teraz wyznaczamy \(\displaystyle{ \phi}\). Ze wzoru (2) wynika, że \(\displaystyle{ cos\phi=\frac{a}{|z|}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) \(\displaystyle{ sin\phi=\frac{b}{|z|}=-\frac{1}{2}}\)
A zatem \(\displaystyle{ \phi}\) musi być równe \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{6}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{3} - 1=2(cos\frac{-\pi}{6} + isin\frac{-\pi}{6})}\)
b) \(\displaystyle{ z=a+bi=0+2i}\)
Moduł \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{0+2^{2}}=2}\) \(\displaystyle{ cos\phi=\frac{a}{|z|}=0}\) \(\displaystyle{ sin\phi=\frac{b}{|z|}=1}\)
A zatem \(\displaystyle{ \phi}\) musi być równe \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) \(\displaystyle{ z=2(cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2})}\)
c) \(\displaystyle{ z=a+bi=3+0i}\)
Moduł \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{3^{2}+0}=3}\) \(\displaystyle{ cos\phi=\frac{a}{|z|}=1}\) \(\displaystyle{ sin\phi=\frac{b}{|z|}=0}\)
A zatem \(\displaystyle{ \phi}\) musi być równe 0
Zatem \(\displaystyle{ z=3(cos0 + isin0)}\)
d) \(\displaystyle{ z=(1+i)}\) i szukamy postaci trygonometrycznej liczby \(\displaystyle{ z^{n}}\)
Moduł \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ sin\phi=\frac{b}{|z|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=cos\phi}\), więc \(\displaystyle{ \phi=\frac{\pi}{4}}\)
Dalej korzystając ze wzoru (3) otrzymujemy: \(\displaystyle{ z^{n}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}(cosn\frac{\pi}{4} + isinn\frac{\pi}{4})}\)
PS. Wiolu, aby kod LaTeX-owy się ładnie wyświetlał należy go ująć w znaczniki:
a)
W pierwszej kolejności musimy wyliczyć moduł liczby zespolonej:
Moduł liczby \(\displaystyle{ z=\sqrt{3} - 1}\) wynosi \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=2}\)
Na pewno? Przecież \(\displaystyle{ \sqrt{3}-1 = a}\), bo nie ma części urojonej.
@tail Masz rację. Moja wyobraźnia zrobiła z jedynki \(\displaystyle{ i}\) :/ Nie mniej jednak patrząc na inne przykłady mam wrażenie, że tam miało być \(\displaystyle{ i}\), bo jak jest 1 to paskudny moduł wychodzi:P
@wiola89 moje pierwsze rozwiązanie będzie w takim razie dotyczyło liczby \(\displaystyle{ z=\sqrt{3}-i}\)
Przykład z \(\displaystyle{ z=\sqrt{3}-1}\) rozwiązujemy tak jak (c)
Przepraszam za pomyłkę.
Ostatnio zmieniony 7 lis 2008, o 09:11 przez ollie, łącznie zmieniany 1 raz.
Czemu raz liczysz \(\displaystyle{ argz}\) z \(\displaystyle{ \cos}\) a raz z funkcji \(\displaystyle{ \sin}\) ??
Nie powinno się liczyć obu i dopiero później stwierdzić jaki kąt wychodzi ??
ollie pisze:To obojętne z której funkcji wyznaczam kąt - z jednej i z drugiej kąt wyjdzie taki sam. Liczę z tej, z której łatwiej akurat widać jaki będzie kąt.
Nie prawda - prosty przykład: \(\displaystyle{ sin60^o= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i \(\displaystyle{ sin120^o= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
ALE: \(\displaystyle{ cos60^o = \frac{1}{2}}\) a \(\displaystyle{ cos120^o = - \frac{1}{2}}\)
a powiedz mi jak to liczysz ze z \(\displaystyle{ cos\phi=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) wychodzi Ci \(\displaystyle{ \phi=\frac{-\pi}{6}}\) to jest gdzies w tablicach?
