Witam, mam do rozwiazania pare zadan, a mianowicie obliczyc:
\(\displaystyle{ 1) ft( 1+i \right)^{10}}\)
\(\displaystyle{ 2) ft( \frac{1+i}{ \sqrt{2} } \right)^{26}}\)
Czy ktos znajacy sie na rzeczy moglby wytlumaczyc krok po kroku metody rozwiazywania? Z gory dziekuje
edit: probowalem obliczyc pierwszy przyklad i wyszlo mi \(\displaystyle{ 2^{5}}\). dobra odpowiedz?
2 zadania z liczb zespolonych
-
Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
2 zadania z liczb zespolonych
No jak znasz wzory to lajcik, nie będę liczył, tylko pokażę ci jak zrobić.
Ogólnie jak masz liczbę zespoloną w postaci \(\displaystyle{ x + iy}\) to aby ją spotęgować najlepiej jest zamienić ją najpierw na postać trygonometryczną w ten sposób :
\(\displaystyle{ z = x+iy = |z|(cos\phi +isin\phi)}\) Gdzie \(\displaystyle{ |z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ sin\phi = \frac{y}{|z|} \\ cos\phi = \frac{x}{|z|}}\)
Teraz sprawa z potęgowaniem jest prosta, bo \(\displaystyle{ z^{n} = (x+iy)^{n} = |z|^{n}(cos(n\phi)+isin(n\phi))}\)
Możesz na koniec zamienić otrzymaną liczbę z powrotem na jej postać ogólną wyliczając wartości cos oraz sin.
Pierwszy przykład wyglądałby tak :
\(\displaystyle{ z = 1+i \ \ \ |z| = \sqrt{2} \ \ \ cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Skoro sin oraz cos są dodatnie, to kąt leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych i wynosi \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ z^{10} = 2^{5}(cos\frac{10\Pi}{4} + isin\frac{10\Pi}{4}) = 2^{5}(cos\frac{\Pi}{2} + isin\frac{\Pi}{2}) = 2^{5}i}\)
Ogólnie jak masz liczbę zespoloną w postaci \(\displaystyle{ x + iy}\) to aby ją spotęgować najlepiej jest zamienić ją najpierw na postać trygonometryczną w ten sposób :
\(\displaystyle{ z = x+iy = |z|(cos\phi +isin\phi)}\) Gdzie \(\displaystyle{ |z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ sin\phi = \frac{y}{|z|} \\ cos\phi = \frac{x}{|z|}}\)
Teraz sprawa z potęgowaniem jest prosta, bo \(\displaystyle{ z^{n} = (x+iy)^{n} = |z|^{n}(cos(n\phi)+isin(n\phi))}\)
Możesz na koniec zamienić otrzymaną liczbę z powrotem na jej postać ogólną wyliczając wartości cos oraz sin.
Pierwszy przykład wyglądałby tak :
\(\displaystyle{ z = 1+i \ \ \ |z| = \sqrt{2} \ \ \ cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Skoro sin oraz cos są dodatnie, to kąt leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych i wynosi \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ z^{10} = 2^{5}(cos\frac{10\Pi}{4} + isin\frac{10\Pi}{4}) = 2^{5}(cos\frac{\Pi}{2} + isin\frac{\Pi}{2}) = 2^{5}i}\)
-
bart2o
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 5 lis 2008, o 12:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 1 raz
2 zadania z liczb zespolonych
doszedlem do tego po jakims czasie i w sumie wyszlo mi prawie to samo tylko zamienilem sin na cos przypadkiem co bylo powodem bledu
dziekuje za wytlumaczenie.
w takim wypadku w drugim powinno wychodzic \(\displaystyle{ i}\), czy sie myle?
dziekuje za wytlumaczenie.
w takim wypadku w drugim powinno wychodzic \(\displaystyle{ i}\), czy sie myle?
