zespolone - rozwiazywanie rownan i nie tylko

[wolv]

Witam.
Bylbym wdzieczny jezeli udzielilibyscie mi porad jak rozwiazac nastepujace zadania z liczb zespolonych.
Jedynie potrzebuje wskazowek jak sie rozwala dane typy zadan a dalej sam sobie policze. Bede naprawde ardzo wdzieczny..

zad. 1

przedstawic na plaszczyznie zespolonej

a. Rez+Im(z+1-j)=1
b.|z-1+j|\(\displaystyle{ \leq}\)1

zad. 2

wyprowadzic wzory na sin3\(\displaystyle{ \alpha}\).

wiem, ze powinno byc \(\displaystyle{ (cos\alpha + jsin\alpha)^{3}=cos3\alpha + jsin3\alpha}\) ale czemu i prosze wytlumaczcie mi to.

zad. 3

rozwiazac rownania, tutaj potrzebuje najwiekszej pomocy, pewnie to jest proste ale tylko prosze nakierujcie mnie jak to sie robi.

a. \(\displaystyle{ z^{3}+1=0}\)
b. \(\displaystyle{ z^{4}+j=0}\)
c. \(\displaystyle{ z^{5}+1-j=0}\)
d. \(\displaystyle{ z^{3}+\frac{(1-j)^{15}(1+j\sqrt{3})^{20}}{(-1+j\sqrt{3})^{4}}=0}\)

To narazie tyle, bede bardzo wdzieczny za pomoc.
pozdrawiam

[Rogal]

Równania Ci pomogę, bo to mój konik .
W pierwszym skorzystaj ze wzoru na sumę sześcianów a następnie z tw. o zerowaniu się iloczynu.
W drugim można w sumie ze wzoru na sumę kwadratów w zespolonych, ale nie wychodziłoby za pięknie, więc może spróbuj skorzystać z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej i zamień na taką postać -i. Masz wtedy równanie \(\displaystyle{ z^{4}=-i}\), czyli \(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-i}}\). Dostaniesz więc cztery pierwiastki po skorzystaniu ze wzoru de Moivre'a na pierwiastki.
W trzecim wręcz identycznie - zamieniasz i-1 na postać trygonometryczną i pierwiastkujesz.
W czwartym musisz wpierw podnieść wszystko do potęg również korzystając z postaci trygonometrycznej i wzoru de Moivre'a. Dalej jak zwykłe równanie.

[wolv]

dzieki rogal za trzecie zadanko ale mam do niego pare pytanek:

a. czy bedzie to wygladalo tak mniej wiecej :


\(\displaystyle{ z^{3}+1=0}\)
\(\displaystyle{ (z+1)(z^{2}-z+1)=0}\)
z+1=0 \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ z^{2}-z+1=0}\)
z1=-1 \(\displaystyle{ \wedge \sqrt{\Delta}=\sqrt{-3}}\)

czyli dalej \(\displaystyle{ z2=\frac{-1+j\sqrt{3}}{2}}\), a \(\displaystyle{ z3=\frac{-1-j\sqrt{3}}{2}}\),

b. czy dobrze mysle ?

zamieniam -j na \(\displaystyle{ -j=cos(\frac{\Pi}{2})+jsin(\frac{\Pi}{2})}\)
i potem ze wzoru de moiva robie

\(\displaystyle{ z0=\sqrt[4]{1} ( cos(\frac{(\frac{\Pi}{2})+2*k=0*\Pi}{4}) + jsin(\frac{(\frac{\Pi}{2})+2*k=0*\Pi}{4}))}\)
\(\displaystyle{ z1=\sqrt[4]{1} ( cos(\frac{(\frac{\Pi}{2})+2*k=1*\Pi}{4}) + jsin(\frac{(\frac{\Pi}{2})+2*k=1*\Pi}{4}))}\)
itd ?

c. tutaj z tej samej metody korzystam i zamieniam sobie j-1 na postac trygonometryczna i tak jak w poprzednim ?

\ edit: poprawilem pkt. a

[Maniek]

a) to są liczby zespolone więc założenie Del

[wolv]

faktycznie. dzieki. juz poprawilem ...

a jak z pozostalymi zadaniami ?

[Rogal]

Coś to -j Ci kuleje w postaci trygonometrycznej, raczej powinno być \(\displaystyle{ -j= \cos \frac{\pi}{2}-j \sin \frac{\pi}{2}}\). Potem oczywiście z de Moivre'a wszystkie pierwiastki. No i w trzecim faktycznie tak samo, tylko się nie pomyl przy postaci trygonometrycznej, bo będzie klapa