zad.1 Korzystając ze wzoru Moivre'a wyrazić sin5x przez potęgi sin x.
Z góry dziękuję za pomoc.
zadanie z liczb zespolonych
-
mariachi
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 3 lis 2008, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 9 razy
zadanie z liczb zespolonych
\(\displaystyle{ \left(cosx + isinx\right)^{5} = cos5x + isin5x}\)
\(\displaystyle{ \left(cosx + isinx\right)^{5} = ft(cosx\right)^{5}+ {5\choose 1}\left(cosx\right)^{4}\left(isinx\right) + {5\choose 2}\left(cosx\right)^{3}\left(isinx\right)^{2}+{5\choose 3}\left(cosx\right)^{2}\left(isinx\right)^{3} + {5\choose 4}\left(cosx\right)\left(isinx\right)^{4} + ft(isinx\right)^{5} = ft(cosx\right)^{5} + 5\left(cosx\right)^{4}\left(isinx\right) - 10\left(cosx\right)^{3}\left(sinx\right) ^{2} - 10\left(cosx\right)^{2}i\left(sinx\right)^{3} + 5\left(cosx\right)\left(sinx\right) ^{4} + i\left(sinx\right)^{5}}\)
porównujemy części rzeczywiste:
\(\displaystyle{ cos5x = ft(cosx\right)^{5} - 10\left(cosx\right)^{3}\left(sinx\right)^{2} + 5\left(cosx\right)\left(sinx\right)^{4}}\)
\(\displaystyle{ cos5x = ft(cosx\right)^{5} - 10\left(cosx\right)^{3}\left(1 - ft(cosx\right)^{2}\right) + 5\left(cosx\right) ft(1 - ft(cosx\right)^{2}\right) ft(1 - ft(cosx\right)^{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ cos5x = ft(cosx\right)^{5} - 10\left(cosx\right)^{3} + 10\left(cosx\right)^{5} + ft(5\left(cosx\right) - 5\left(cosx\right)^{3}\right) ft(1 - ft(cosx\right)^{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ cos5x = ft(cosx\right)^{5} - 10\left(cosx\right)^{3} + 10\left(cosx\right)^{5} + 5\left(cosx\right) - 5\left(cosx\right)^{3} - 5\left(cosx\right)^{3} + 5\left(cosx\right)^{5}}\)
no i wychodzi:
\(\displaystyle{ cos5x = 16\left(cosx\right)^{5} - 20\left(cosx\right)^{3} + 5\left(cosx\right)}\)
mam nadzieję, że się w tych rachunkach nigdzie nie pomyliłem..
\(\displaystyle{ \left(cosx + isinx\right)^{5} = ft(cosx\right)^{5}+ {5\choose 1}\left(cosx\right)^{4}\left(isinx\right) + {5\choose 2}\left(cosx\right)^{3}\left(isinx\right)^{2}+{5\choose 3}\left(cosx\right)^{2}\left(isinx\right)^{3} + {5\choose 4}\left(cosx\right)\left(isinx\right)^{4} + ft(isinx\right)^{5} = ft(cosx\right)^{5} + 5\left(cosx\right)^{4}\left(isinx\right) - 10\left(cosx\right)^{3}\left(sinx\right) ^{2} - 10\left(cosx\right)^{2}i\left(sinx\right)^{3} + 5\left(cosx\right)\left(sinx\right) ^{4} + i\left(sinx\right)^{5}}\)
porównujemy części rzeczywiste:
\(\displaystyle{ cos5x = ft(cosx\right)^{5} - 10\left(cosx\right)^{3}\left(sinx\right)^{2} + 5\left(cosx\right)\left(sinx\right)^{4}}\)
\(\displaystyle{ cos5x = ft(cosx\right)^{5} - 10\left(cosx\right)^{3}\left(1 - ft(cosx\right)^{2}\right) + 5\left(cosx\right) ft(1 - ft(cosx\right)^{2}\right) ft(1 - ft(cosx\right)^{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ cos5x = ft(cosx\right)^{5} - 10\left(cosx\right)^{3} + 10\left(cosx\right)^{5} + ft(5\left(cosx\right) - 5\left(cosx\right)^{3}\right) ft(1 - ft(cosx\right)^{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ cos5x = ft(cosx\right)^{5} - 10\left(cosx\right)^{3} + 10\left(cosx\right)^{5} + 5\left(cosx\right) - 5\left(cosx\right)^{3} - 5\left(cosx\right)^{3} + 5\left(cosx\right)^{5}}\)
no i wychodzi:
\(\displaystyle{ cos5x = 16\left(cosx\right)^{5} - 20\left(cosx\right)^{3} + 5\left(cosx\right)}\)
mam nadzieję, że się w tych rachunkach nigdzie nie pomyliłem..
-
tiraeth
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 13 paź 2008, o 15:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 14 razy
zadanie z liczb zespolonych
mariachi, ale tym co napisałeś wcześniej to mnie dobiłeś...\(\displaystyle{ \sin 5x = (\sin x)^5}\)
Gwoli wyjaśnienia, żeby było wiadomo, co należy zrobić. Bierzemy wyrażenie \(\displaystyle{ (\cos x + i\sin x)^5}\) i rozpisujemy najpierw wzorem de Moivre'a, a potem wzorem dwumianowym Newtona. Wtedy porównujemy odpowiednio części rzeczywiste i urojone. Względnie do tego, co chcemy uzyskać - czyli albo przedstawienie sinusa lub cosinusa.