równanie

[groupies]

i jakby mógł to ktoś wyjasnić? z góry wielkie dzięki!

\(\displaystyle{ z^{2}}\) = \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) + i \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

[mariachi]

Liczysz moduł liczby z:
\(\displaystyle{ \left|z\right| = \sqrt{\left(- \frac{1}{2}\right)^{2} + ft(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \left|z\right| = 1}\)

następnie liczysz argument główny, odpowiednio cosinus i sinus argumentu:
\(\displaystyle{ cos\varphi = \frac{-\frac{1}{2}}{1} cos\varphi = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\varphi = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi}\)

no i przechodzimy do liczenia \(\displaystyle{ z^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = 1^{2}(cos\frac{2}{3}\pi + isin\frac{2}{3}\pi)^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = (cos2\frac{2}{3}\pi + isin2\frac{2}{3}\pi)}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = (cos\frac{4}{3}\pi + isin\frac{4}{3}\pi) -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)

czyli mamy:
\(\displaystyle{ z_{1}= -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}\)

PS: mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem.

[tiraeth]

Ale kolega chyba musi policzyć liczbę \(\displaystyle{ z}\)... Więc wszędzie się pomyliłeś.

Tutaj mamy do czynienia ze zwykłym pierwiastkowaniem liczb zespolonych.
\(\displaystyle{ z = x+yi \\
(x+yi)^2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \\
x^2-y^2+2xyi = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}\)

Porównujesz części rzeczywiste i urojone:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2-y^2 = -\frac{1}{2} \\
2xy = \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}}\)

Jak rozwiążesz równanie to otrzymasz \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\), a wtedy masz już swoją liczbę.

[mariachi]

wynik jest dobry co wystarczy sprawdzić wstawiając go do równania tiraeth'a.

[tiraeth]

Rozwiązaniem są dwie liczby. Należy to robić pierwiastkowaniem z definicji.

Drugą liczbą jest:
\(\displaystyle{ z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}\)