i jakby mógł to ktoś wyjasnić? z góry wielkie dzięki!
\(\displaystyle{ z^{2}}\) = \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) + i \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 3 lis 2008, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 9 razy
równanie
Liczysz moduł liczby z:
\(\displaystyle{ \left|z\right| = \sqrt{\left(- \frac{1}{2}\right)^{2} + ft(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|z\right| = 1}\)
następnie liczysz argument główny, odpowiednio cosinus i sinus argumentu:
\(\displaystyle{ cos\varphi = \frac{-\frac{1}{2}}{1} cos\varphi = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\varphi = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi}\)
no i przechodzimy do liczenia \(\displaystyle{ z^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = 1^{2}(cos\frac{2}{3}\pi + isin\frac{2}{3}\pi)^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = (cos2\frac{2}{3}\pi + isin2\frac{2}{3}\pi)}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = (cos\frac{4}{3}\pi + isin\frac{4}{3}\pi) -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
czyli mamy:
\(\displaystyle{ z_{1}= -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
PS: mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem.
\(\displaystyle{ \left|z\right| = \sqrt{\left(- \frac{1}{2}\right)^{2} + ft(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|z\right| = 1}\)
następnie liczysz argument główny, odpowiednio cosinus i sinus argumentu:
\(\displaystyle{ cos\varphi = \frac{-\frac{1}{2}}{1} cos\varphi = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\varphi = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi}\)
no i przechodzimy do liczenia \(\displaystyle{ z^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = 1^{2}(cos\frac{2}{3}\pi + isin\frac{2}{3}\pi)^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = (cos2\frac{2}{3}\pi + isin2\frac{2}{3}\pi)}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = (cos\frac{4}{3}\pi + isin\frac{4}{3}\pi) -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
czyli mamy:
\(\displaystyle{ z_{1}= -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
PS: mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem.
Ostatnio zmieniony 4 lis 2008, o 12:57 przez mariachi, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 13 paź 2008, o 15:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 14 razy
równanie
Ale kolega chyba musi policzyć liczbę \(\displaystyle{ z}\)... Więc wszędzie się pomyliłeś.
Tutaj mamy do czynienia ze zwykłym pierwiastkowaniem liczb zespolonych.
\(\displaystyle{ z = x+yi \\
(x+yi)^2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \\
x^2-y^2+2xyi = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
Porównujesz części rzeczywiste i urojone:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2-y^2 = -\frac{1}{2} \\
2xy = \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}}\)
Jak rozwiążesz równanie to otrzymasz \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\), a wtedy masz już swoją liczbę.
Tutaj mamy do czynienia ze zwykłym pierwiastkowaniem liczb zespolonych.
\(\displaystyle{ z = x+yi \\
(x+yi)^2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \\
x^2-y^2+2xyi = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
Porównujesz części rzeczywiste i urojone:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2-y^2 = -\frac{1}{2} \\
2xy = \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}}\)
Jak rozwiążesz równanie to otrzymasz \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\), a wtedy masz już swoją liczbę.