Określenie arg z -liczby zespolone

[piotrewq]

Witam. Mam problem przy zamianie liczby zespolonej na postać trygonometryczną w momencie gdy mam wyznaczony cosinus i sinus nie wiem skąd się bierze z tego arg z

np. dla:

cos \(\displaystyle{ \varphi}\) =\(\displaystyle{ {\sqrt{2}}\over{2}}\)

sin \(\displaystyle{ \varphi}\) =- \(\displaystyle{ {\sqrt{2}}\over{2}}\)

\(\displaystyle{ \varphi}\) = \(\displaystyle{ {7\pi}\over{4}}\)

[tiraeth]

Nasz \(\displaystyle{ \arg z}\) to argument główny (jeśli nie mamy określenia cykliczności funkcji) naszej liczby. Wyznacza się go w ten sposób, że:

\(\displaystyle{ 0 qslant \arg z = \varphi < 2\pi}\)

Mając układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\cos\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\sin\varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}}\)

Trzeba sprawdzić dla jakiego kąta cosinus jest dodatni i sinus jest ujemny. Można to łatwo określić jak się zna wierszyk o znaku funkcji w danej ćwiartce. Ponieważ cosinus jest dodatni, a sinus ujemny, to mamy czwartą ćwiartkę. A w niej wzory:
\(\displaystyle{ \cos(2\pi-\alpha) = \cos\alpha \\
\sin(2\pi-\alpha) = -\sin\alpha}\)

Kiedy mamy wartość sinusa i cosinusa równą \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)? Dla czterdziestu pięciu stopni, czyli dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Ponieważ to czwarta ćwiartka, to mamy \(\displaystyle{ 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}}\).

Drugi przykład tak samo, tyle, że tutaj cosinus jest ujemny a sinus dodatni - czyli druga ćwiartka.

[młody88]

mam ten sam problem co i kolega piotrewq, tylko że mi ta odpowiedż nic nie wskazuje wiem ze to jest banalne ale mam jakąś blokade na wiedze :/

co w przypadku kiedy z= 1-i lub z= frac]{ sqrt{3} }{2} + frac{1}{2} i

problem maam jedynie z argumentem głównym

[tiraeth]

\(\displaystyle{ z_1=1-i}\)

\(\displaystyle{ z_2=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i}\)

\(\displaystyle{ |z_1| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ |z_2| = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos{\varphi_k} = \frac{Re(z_k)}{|z_k|} \\ \sin{\varphi_k} = \frac{Im(z_k)}{|z_k|} \end{cases}}\)

Argumentem głównym liczby zespolonej nazywamy taki kąt, że \(\displaystyle{ 0 qslant \varphi < 2\pi}\).

Dla Twoich liczb zespolonych masz:

\(\displaystyle{ \cos{\varphi_1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad \quad \sin{\varphi_1} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad \quad \arg z_2= \frac{7\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ \cos{\varphi_2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \quad \sin{\varphi_2} = \frac{1}{2} \quad \quad \quad \quad \arg z_1 = \frac{\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ \varphi_k = \arg z_k + 2k\pi }\) Każdy argument liczby zespolonej \(\displaystyle{ z_k}\)

[Dedemonn]

Ja nauczyłem się odczytywać argument główny z liczby na podstawie interpretacji geometrycznej.

Jak? Ano Arg(z) jest to kąt pomiędzy naszą liczbą z (wektor na wykresie) a dodatnią stroną osi x.

Np. dla z =-1+i mamy wykres (wiem, że rządzę w kwestii grafiki ) :

Kąt w przeciwnym kierunku (nazwijmy go \(\displaystyle{ \alpha}\)), między liczbą z, a najbliższą osią (tutaj ujemna część osi x) to kąt dla cosinusa i sinusa ignorując minusy.

Np. z = -1 + i . Wtedy:

\(\displaystyle{ cos\varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2}}\), \(\displaystyle{ \sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Ignorując minus, jest to spełnione dla \(\displaystyle{ \varphi =\frac{\pi}{4}}\). I to jest ten nasz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).


Z interpretacji geometrycznej zwłaszcza łatwo odczytać argumenty główne z liczb znajdujących się bezpośrednio na osi, tj. 1, -1, i -> wystarczy narysować kąt pomiędzy tą liczbą oraz dodatnią częścią osi x.

Mam nadzieję, że to cokolwiek pomaga i kto nie potrafi, może akurat spróbuje w ten sposób i go olśni ;]. (aczkolwiek nie wiem czy sam bym coś z tego zrozumiał, jakbym nie rozumiał :d)

Pozdrawiam.

[młody88]

dzięki już coś kumam