2 zadanka z liczb zespolonych

[premi8]

1. Oblicz i wynik zinterpretuj na płaszczyźnie Gaussa:

A) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1}}\)
B) \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-1}}\)
C) \(\displaystyle{ \sqrt[6]{-i}}\)
D) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1-i}}\)
E) \(\displaystyle{ \sqrt[4]{(1-i)^4}}\)



2. Zapisz w postaci trygonometrycznej i wykładniczej:

A) \(\displaystyle{ z = i^{7} - 2i^{15}}\)

B) \(\displaystyle{ Z= \frac{(-1-i)^6}{(1-i)^7}}\)

C) \(\displaystyle{ \frac{2i^3 + 5i^{17}}{1-i^{13}\sqrt{3}}}\)


Jeśli ktoś może rozwiązać chociaż po jednym przykładzie z każdego zadania żebym zrozumiał jak się te zadania robi analogicznie... z góry serdecznie dziękuję

[soku11]

1. Tutaj wystarczy rozwiazac przedstawiajac kazda liczbe w postaci trygonometrycznej. Np.
B)
\(\displaystyle{ w=\sqrt[4]{-1}\\
w^4=-1=\cos\pi+i\sin\pi\\
w_k=\cos \frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin \frac{\pi+2k\pi}{4}\;\;\;k\in\{0,1,2,3\}}\)

[ Dodano: 2 Listopada 2008, 21:22 ]
C)
\(\displaystyle{ w=\sqrt[6]{-i}\\
w^6=-i=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\\
w_k=\cos \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{6}+i\sin \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{6}\;\;\; k\in\{0,1,2,3,4,5\}}\)

[ Dodano: 2 Listopada 2008, 21:30 ]
A)
\(\displaystyle{ w=\sqrt[3]{1}\\
w^3=1\\
w^3=\cos 0+i\sin 0\\
w_k=\cos \frac{2k\pi}{3}+i\sin \frac{2k\pi}{3}\;\;\;k\in\{0,1,2\}}\)

[ Dodano: 2 Listopada 2008, 21:41 ]
2. Tutaj trzeba kombinowac i znac wzor na dzielenie dwoch liczb zespolonych.
A)
\(\displaystyle{ z = i(i^{6} - 2i^{14})=
i[(i^2)^3-2(i^2)^7]=
i[(-1)^3-2(-1)^7]=
i(-1+2)=i=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}}\)

[ Dodano: 2 Listopada 2008, 21:56 ]
C)
\(\displaystyle{ \frac{2i^3 + 5i^{17}}{1-i^{13}\sqrt{3}} =
\frac{i(2i^2+5i^16)}{1-i(\sqrt{3}i^12)}=
\frac{i(-2+5(i^2)^8)}{1-i[\sqrt{3}(i^2)^6]}=
\frac{i(-2+5(-1)^8)}{1-i[\sqrt{3}(-1)^6]}=
\frac{i(-2+5)}{1-i\sqrt{3}}=
\frac{3i}{1-i\sqrt{3}}=
\frac{3(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2})}{2(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})}=
\frac{3(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2})}{2(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3})}=
\frac{3}{2}\left[ \cos ft(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\right)\right]=\ldots}\)

Pozdrawiam.