Punkty na płaszczyźnie zespolonej

[Harry Xin]

Punkty \(\displaystyle{ z _{1} , \ z _{2} , \ z _{3}}\) płaszczyzny zespolonej są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz położenie punktu przecięcia środkowych tego trójkąta.
Wskazówka: Wykorzystać fakt, że środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.

[Szemek]

W geometrii analitycznej na płaszczyźnie:
Niech punkty \(\displaystyle{ A(x_a,y_b),B(x_b,y_b),C(x_c,y_c)}\) są wierzchołkami trójkąta.
Jeśli \(\displaystyle{ S(x_s,y_s)}\) jest środkiem ciężkości trójkąta ABC (punktem przecięcia środkowych) to:
\(\displaystyle{ x_s=\frac{x_a+x_b+x_c}{3} \qquad y_s=\frac{y_a+y_b+y_c}{3}}\)

Moim zdaniem, punkt przecięcia środkowych tego trójkąta znajduje się w miejscu \(\displaystyle{ \frac{z_1+z_2+z_3}{3}}\)



\(\displaystyle{ Sz_1z_2 = \frac{z_1+z_2}{2}}\)

\(\displaystyle{ S=\frac{2}{3}Sz_1z_2+\frac{1}{3}z_3 = \ldots = \frac{z_1+z_2+z_3}{3}}\)