Liczby zespolone - dowód i wyznaczenie wartości

[Harry Xin]

Wykazać, że jeśli liczba \(\displaystyle{ z \ = \ x \ + \ yi 0}\) nie jest liczbą rzeczywistą ujemną, to istnieje jedyna liczba \(\displaystyle{ w}\) o dodatniej części rzeczywistej, spełniająca równość \(\displaystyle{ w ^{2} \ = \ z}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ \Re (w)}\) oraz \(\displaystyle{ \Im (w)}\) w zależności od \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).

[frej]

Jak jest to liczba rzeczywista dodatnia, to sprawa jasna.
Jak jest to liczba zespolona, to po prostu
\(\displaystyle{ (a+ib)^2=a^2-b^2+2abi=x+yi}\), porównać odpowiednie liczby, układ równań, podstawić, równanie kwadratowe i odrzucić jedno z rozwiązań (będą dwa bo jest \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia ).

To tak chyba z grubsza powinno wyglądać. Jak coś nie pasuje to się nie zdziw, bo jestem teraz w nie najlepszej kondycji... ^^

[Harry Xin]

Sam nie wiem...
Poproszę o sprawdzenie:
\(\displaystyle{ 1 ^{o} \begin{cases} x>0 \\ y=0 \end{cases} z=x, \ x R _{+}
\\ w ^{2} =z
\\ w ^{2} =x
\\ w= \sqrt{x}
\\ \Re (w)= \Re ( \sqrt{x} )= \sqrt{x}
\\ \Im (w)= \Im ( \sqrt{x} )=0
\\ 2 ^{o} (a+bi) ^{2} =a ^{2} -b ^{2} +2abi=x+yi 0
\\ \begin{cases} x=a ^{2}-b ^{2} \\ y=ab \end{cases}
\\ w ^{2} =z
\\ w= \sqrt{z}
\\ w= \sqrt{x+yi}
\\ w= \sqrt{a ^{2}-b ^{2}+2abi }
\\ w= ft| a+bi \right| , \ a+bi \ - \ nieujemne
\\ w=a+bi
\\ \Re (w)=a
\\ \Im (w)=b}\)
Średnio mi się widzi końcówka? Czy coś jest nie tak?

[frej]

Raczej myślałem o tym, że \(\displaystyle{ b=\frac{y}{a}}\) i wstawić do równania wyżej itd.

[Harry Xin]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=a ^{2}-b ^{2} \\ y=ab b= \frac{y}{a} \end{cases}
\\ a ^{2} - \frac{y ^{2} }{a ^{2} } } + \frac{2ay}{a}i =0
\\ a ^{4} -y ^{2} +2a ^{2} yi=0
\\ (a ^{2} +yi) ^{2} =0
\\ a ^{2} +yi=0
\\a ^{2} =-yi}\)
I tu się zaczynają schody...
\(\displaystyle{ a ^{2} =i ^{2} yi
\\ a=i \sqrt{yi}}\)
Dalej nie wiem. Nie mogę się pozbyć \(\displaystyle{ i}\) a przecież \(\displaystyle{ a}\) powinno wyjść rzeczywiste...

[frej]

\(\displaystyle{ x=a^2-(\frac{y}{a})^2}\)
\(\displaystyle{ a^4-xa^2-y^2=0}\)
\(\displaystyle{ t=a^2 0}\)
\(\displaystyle{ t^2-xt-y^2=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=x^2+4y^2}\)
Dalej nie powinno być większych problemów.