3 równania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
pablo5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 15 lis 2007, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praszka
Podziękował: 2 razy

3 równania

Post autor: pablo5 »

Witam, prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu 3 równań:

\(\displaystyle{ a) \overline{z} = z^2}\)
\(\displaystyle{ b) (1-i)^4Re \frac{1}{z} = 1}\)
\(\displaystyle{ c) \sqrt{z + \overline{z}^2} = \frac{1}{2}Imz}\)

Z góry serdecznie dziękuję.
Awatar użytkownika
Harry Xin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 545
Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 148 razy
Pomógł: 83 razy

3 równania

Post autor: Harry Xin »

a)
\(\displaystyle{ \overline {z} =z ^{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi, \ x,y R}\)
\(\displaystyle{ \overline {x+yi}=(x+yi) ^{2}
\\ x-yi=x ^{2} +2xyi-y ^{2}
\\ (x ^{2} -x-y ^{2} )+i(2xy+y)=0
\\ \begin{cases} x ^{2}-x-y ^{2}=0 \\ 2xy+y=0 \end{cases}
\\ y(2x+1)=0
\\ y=0 2x+1=0
\\ x=- \frac{1}{2}
\\ 1 ^{o} \ y=0
\\ x ^{2} -x=0
\\ x(x-1)=0
\\ x=0 x=1
\\ 2 ^{o} \ x=- \frac{1}{2}
\\ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} -y ^{2} =0
\\ y ^{2} + \frac{3}{4} =0}\)

sprzeczność
\(\displaystyle{ z \{ 0;1 \}}\)
c)
\(\displaystyle{ \sqrt{z+ \overline {z} ^{2} } = \frac{1}{2} \Im (z)}\)
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi, \ x,y R}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x+yi+ \overline {x+yi} ^{2}} = \frac{1}{2} \Im (x+yi)
\\ \sqrt{x+yi+(x-yi) ^{2}}= \frac{1}{2}y
\\ \sqrt{x+yi+x ^{2} - 2xyi - y ^{2}}= \frac{1}{2}y
\\ x+yi+x ^{2} -2xyi -y ^{2}= \frac{1}{4}y ^{2}
\\ ( \frac{5}{4}y ^{2} -x ^{2}-x)+i(2xy-y)=0
\\ \begin{cases} \frac{5}{4}y ^{2}-x ^{2}-x=0 \\ 2xy-y=0 \end{cases}
\\ y(2x-1)=0
\\ y=0 x= \frac{1}{2}
\\ 1 ^{o} \ y=0
\\ -x ^{2}-x=0
\\ x ^{2}+x=0
\\ x(x+1)=0
\\ x=0 x=-1
\\ 2 ^{o} \ x= \frac{1}{2}
\\ \frac{5}{4}y ^{2}-\frac{1}{4}- \frac{1}{2}=0
\\ 5y ^{2}-3=0
\\ y^{2}- \frac{3}{5}=0
\\ (y- \frac{ \sqrt{15} }{5} )(y+ \frac{ \sqrt{15} }{5} )=0
\\ y= \frac{ \sqrt{15} }{5} y=- \frac{ \sqrt{15} }{5}
\\ z \{ -1;0; \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{15}}{5};\frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{15}}{5} \}}\)
ODPOWIEDZ