Niech \(\displaystyle{ w_{0}, w_{1},\ldots ,w_{n-1}}\) będą pierwistkami z jedynki n-tego stopnia. Przyjmijmy, że są one wierzchołkami pewnego wielokąta foremnego o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ w_{0} = 1}\) . Wykazać, że iloczyn dwóch dowolnych liczb należących do tego wielokąta (łącznie z wnętrzem) również należy do tego wielokąta.
Z góry dzięki
Wielokąty foremne a liczby zespolone
-
marcin_p321
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 25 wrz 2008, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Wielokąty foremne a liczby zespolone
Mozemy zalozyc, ze \(\displaystyle{ w_i=w_0^i}\), bo \(\displaystyle{ w_i}\) sa wszystkimi pierwiastkami z jedynki stopnia \(\displaystyle{ n}\) (formemnosc.).
Stad
\(\displaystyle{ w_iw_j=w_0^i\cdot w_0^j=w_0^{i+j}=w_0^{i+j\;\mathrm{mod}\; n}=w_{i+j\;\mathrm{mod}\; n}}\)
Punkty z wnetrza tego wielokata sa postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1}p_iw_i}\)
dla
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1}p_i=1}\) oraz \(\displaystyle{ p_i\ge 0}\).
Niech wiec:
\(\displaystyle{ P=\sum_{i=0}^{n-1}p_iw_i}\)
\(\displaystyle{ Q=\sum_{j=0}^{n-1}q_jw_j}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1}p_i=\sum_{i=0}^{n-1}q_i=1}\) oraz wszystkie \(\displaystyle{ p_i, q_j}\) sa nieujemne.
Mamy:
\(\displaystyle{ P\cdot Q=\sum_{i=0}^{n-1}p_iw_i\cdot\sum_{j=0}^{n-1}q_jw_j=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sum_{i+j\equiv k \;\mathrm{mod}\;n}p_iq_jw_iw_j\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sum_{i+j\equiv k \;\mathrm{mod}\;n}p_iq_j\right)w_k}\)
Ten punkt lezy we wnetrzu wielokata, bo:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}\left(\sum_{i+j\equiv k \;\mathrm{mod}\;n}p_iq_j\right)=\sum_{i=0}^{n-1}p_i\cdot \sum_{j=0}^{n-1}q_j=1\cdot 1=1}\)
i oczywiscie wszystkie produkty \(\displaystyle{ p_iq_j}\) sa nieujemne.
Stad
\(\displaystyle{ w_iw_j=w_0^i\cdot w_0^j=w_0^{i+j}=w_0^{i+j\;\mathrm{mod}\; n}=w_{i+j\;\mathrm{mod}\; n}}\)
Punkty z wnetrza tego wielokata sa postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1}p_iw_i}\)
dla
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1}p_i=1}\) oraz \(\displaystyle{ p_i\ge 0}\).
Niech wiec:
\(\displaystyle{ P=\sum_{i=0}^{n-1}p_iw_i}\)
\(\displaystyle{ Q=\sum_{j=0}^{n-1}q_jw_j}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1}p_i=\sum_{i=0}^{n-1}q_i=1}\) oraz wszystkie \(\displaystyle{ p_i, q_j}\) sa nieujemne.
Mamy:
\(\displaystyle{ P\cdot Q=\sum_{i=0}^{n-1}p_iw_i\cdot\sum_{j=0}^{n-1}q_jw_j=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sum_{i+j\equiv k \;\mathrm{mod}\;n}p_iq_jw_iw_j\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sum_{i+j\equiv k \;\mathrm{mod}\;n}p_iq_j\right)w_k}\)
Ten punkt lezy we wnetrzu wielokata, bo:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}\left(\sum_{i+j\equiv k \;\mathrm{mod}\;n}p_iq_j\right)=\sum_{i=0}^{n-1}p_i\cdot \sum_{j=0}^{n-1}q_j=1\cdot 1=1}\)
i oczywiscie wszystkie produkty \(\displaystyle{ p_iq_j}\) sa nieujemne.