Oblicz wyrażenie

[Natmat]

\(\displaystyle{ (\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i})^{20}}\)

Powinno wyjść: \(\displaystyle{ 2^{9} (1- \sqrt{3} )}\) czy \(\displaystyle{ 2^{9} (1+ \sqrt{3} )}\)

[Ptaq666]

\(\displaystyle{ 1+ i \sqrt{3} = 2(cos \frac{\Pi}{3} + isin \frac{Pi}{3} ) \\ \\ (1+ i \sqrt{3} )^{20} = 2^{20}(cos \frac{20\Pi}{3} + isin \frac{20\Pi}{3} ) = 2^{19}(\sqrt{3} - 1) \\ \\ 1-i = \sqrt{2}(cos\frac{7\Pi}{4} + isin\frac{7\Pi}{4} \\ (1-i)^{20} = 2^{10}(cos\frac{140\Pi}{4} + isin\frac{140\Pi}{4} ) = -2^{10}}\)

No i teraz jak jedno przez drugie podzielisz, to ci wyjdzie

\(\displaystyle{ \frac{2^{19}(\sqrt{3}-1)}{-2^{10}} = 2^{9}(1-\sqrt{3})}\)

[Natmat]

Tym sposobem zrobiłem i mi wyszło, ale gdy najpierw wykonuję działanie w nawiasie, dochodzę do drugiego wyniku, nie wiem gdzie jest błąd, już na początku otrzymuję ujemną wartość cos w 1 ćw :/ a liczę poprawnie :/ chyba że popełniam jakiś błąd logiczny.

[Ptaq666]

Ale bez sensu jest chyba najpierw dzielić. Jak wykonasz działąnie w nawiasie to ci wyjdzie

\(\displaystyle{ \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i} = \frac{(1+\sqrt{3})(1+i)}{2}}\)

Moduł takiej liczby wynosi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{2}}\) i weź spróbuj podnieść to teraz do 20 potęgi. No chyba, że jeszcze inaczej robiłeś, albo znalazłeś jakiś wygodny sposób na potęgowanie takiego wyrażenia.

[Natmat]

zawsze szukam kilka sposobów, by potem wiedzieć który jest najszybszy, dobre ćwiczenie nie jest złe:), musiałem widocznie gdzieś po drodze źle obliczyć