Dla jakich n, z^n leży w półpłaszczyźnie otwartej 2 ćwiartki

[tiraeth]

\(\displaystyle{ z = \frac{7\sqrt{3}}{2}-\frac{7}{2}i}\)

Wyznaczyć n, dla których \(\displaystyle{ z^n}\) leży w otwartej półpłaszczyźnie II ćwiartki. Jak robić takie zadania?

Zacząłem coś myśleć i mam coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} < \arg\left(z^n\right) < \pi \\
\frac{\pi}{2} - 2k\pi < n\argz < \pi - 2k\pi \\ \\
|z| = \sqrt{49} = 7 \varphi = \frac{11}{6}\pi \\ \\
3-12k < 11n < 6-12k}\)

I zacząłem sprawdzać dla kolejnych k (0, 1, 2, 3...) czy istnieją takie n (naturalne oczywiście), które pasowałyby do tej równości.

\(\displaystyle{ k=0 n N \\
k=1 n N \\
k=2 n N \\
k=4 n=4}\)

Czyli doszedłem, że n=4 będzie pasowało. I mógłbym tak w nieskończoność.... A odpowiedź mam podać w formie:
\(\displaystyle{ n = a k + b,\quad a,b R}\)

Czy jest na to jakiś wzór? Może jakiś sposób? Z góry dzięki za pomoc.

[Ptaq666]

No jest, bardzo prosty. Obczaj sobie najpierw z w postaci trygonometrycznej.

\(\displaystyle{ z = |z|(cos \phi - i sin \phi ) \\ \\ |z| = 7 \\ cos \phi = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ sin \phi = - \frac{1}{2}}\)

cos dodatni, sin ujemny, a więc argument główny leży w czwartej ćwiartce układu i wynosi 330

Teraz sprawdź argumenty główne kolejnych potęg z

\(\displaystyle{ arg(z^{0}) = 0*330 = 0 \\ arg(z^{1}) = 1*330 = 330 \\ arg(z^{2}) = 2*330 = 660 \ \ \ czyli \ \ \ 300 \\ arg(z^{3}) = 3*330 = 990 \ \ \ czyli \ \ \ 270}\)

Itd. aż do potęgi 12, bo tyle jest możliwości. Wybierasz z wyników te, które leżą w interesującej cię ćwiartce.

Wynik to \(\displaystyle{ n = 12k + a}\) gdzie "a" to numer potęgi, która pasuje. W zależności ile takich potęg będzie, tyle będziesz miał różnych zbiorów "n"

U ciebie to będzie

\(\displaystyle{ n = 12k + 7 \\ n = 12k + 8}\)

(półpłaszczyzna otwarta, czyli 90 i 180 odpadają ? )