Mam taką nierówność:
\(\displaystyle{ \sin\left(\pi|z+2i|\right) > 0}\)
Jak mam to rozgryźć? Jak zabiorę się za ten moduł, to mam \(\displaystyle{ |z+2i| = \sqrt{x^2+y^2+4y+4}}\). Ale co dalej? Nie wiem zupełnie jak to narysować...
Dzięki za pomoc, z góry.
Interpretacja geometryczna modułu (f. trygonometryczna)
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Interpretacja geometryczna modułu (f. trygonometryczna)
\(\displaystyle{ \sin(\pi|z+2i|)>0}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \pi|z+2i|\in(2k\pi,(2k+1)\pi)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
(bo modul dodatni)
\(\displaystyle{ |z+2i|\in(2k,2k+1)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\)
(Zakladamy, ze \(\displaystyle{ 0\in\mathbb{N}}\))
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ |z+2i|^2\in((2k)^2,(2k+1)^2)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ |z+2i|^2=x^2+y^2+4y+4}\).
Zatem rozwiazanie stanowi suma zbiorow postaci:
\(\displaystyle{ x^2+(y+2)^2=\rho^2}\)
dla \(\displaystyle{ \rho\in(2k,2k+1)}\); \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).
Te zbiory to okregi o srodku w punkcie \(\displaystyle{ (0,-2)}\), czyli \(\displaystyle{ -2i}\) i promieniu \(\displaystyle{ \rho}\), dla \(\displaystyle{ \rho\in\bigcup_{n\in N}(2n,2n+1)}\).
Jest to wiec zbior koncentrycznych pierscieni otwartych "grubosci" 1.
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \pi|z+2i|\in(2k\pi,(2k+1)\pi)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
(bo modul dodatni)
\(\displaystyle{ |z+2i|\in(2k,2k+1)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\)
(Zakladamy, ze \(\displaystyle{ 0\in\mathbb{N}}\))
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ |z+2i|^2\in((2k)^2,(2k+1)^2)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ |z+2i|^2=x^2+y^2+4y+4}\).
Zatem rozwiazanie stanowi suma zbiorow postaci:
\(\displaystyle{ x^2+(y+2)^2=\rho^2}\)
dla \(\displaystyle{ \rho\in(2k,2k+1)}\); \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).
Te zbiory to okregi o srodku w punkcie \(\displaystyle{ (0,-2)}\), czyli \(\displaystyle{ -2i}\) i promieniu \(\displaystyle{ \rho}\), dla \(\displaystyle{ \rho\in\bigcup_{n\in N}(2n,2n+1)}\).
Jest to wiec zbior koncentrycznych pierscieni otwartych "grubosci" 1.