Interpretacja geometryczna modułu (f. trygonometryczna)

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
tiraeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 13 paź 2008, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 14 razy

Interpretacja geometryczna modułu (f. trygonometryczna)

Post autor: tiraeth »

Mam taką nierówność:

\(\displaystyle{ \sin\left(\pi|z+2i|\right) > 0}\)

Jak mam to rozgryźć? Jak zabiorę się za ten moduł, to mam \(\displaystyle{ |z+2i| = \sqrt{x^2+y^2+4y+4}}\). Ale co dalej? Nie wiem zupełnie jak to narysować...

Dzięki za pomoc, z góry.
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Interpretacja geometryczna modułu (f. trygonometryczna)

Post autor: xiikzodz »

\(\displaystyle{ \sin(\pi|z+2i|)>0}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \pi|z+2i|\in(2k\pi,(2k+1)\pi)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
(bo modul dodatni)

\(\displaystyle{ |z+2i|\in(2k,2k+1)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\)
(Zakladamy, ze \(\displaystyle{ 0\in\mathbb{N}}\))

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ |z+2i|^2\in((2k)^2,(2k+1)^2)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\)

Mamy:

\(\displaystyle{ |z+2i|^2=x^2+y^2+4y+4}\).

Zatem rozwiazanie stanowi suma zbiorow postaci:
\(\displaystyle{ x^2+(y+2)^2=\rho^2}\)

dla \(\displaystyle{ \rho\in(2k,2k+1)}\); \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).

Te zbiory to okregi o srodku w punkcie \(\displaystyle{ (0,-2)}\), czyli \(\displaystyle{ -2i}\) i promieniu \(\displaystyle{ \rho}\), dla \(\displaystyle{ \rho\in\bigcup_{n\in N}(2n,2n+1)}\).

Jest to wiec zbior koncentrycznych pierscieni otwartych "grubosci" 1.
tiraeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 13 paź 2008, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 14 razy

Interpretacja geometryczna modułu (f. trygonometryczna)

Post autor: tiraeth »

Dokładnie przed chwilą na to wpadłem. Dziękuję za zainteresowanie i szybką odpowiedź!
ODPOWIEDZ