3 krótkie? równania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
qkiz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 26 paź 2008, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gc

3 krótkie? równania

Post autor: qkiz22 »

witam,
mam problem z paroma równaniami:
1) z ^2 -5z+7+i=0 - po wyliczeniu pierwiastkow z delty przy probie ich obliczenia dostaje cos(phi)= 0,6 ; sin (phi)= 0,8 i szczerze mowiac nie wiem co dalej
2) z^4-3z^2+4=0 tu podobnie tylko cos= 0,75 a sin= [7^(1/2) / 4]
3) z*(z sprzężone) + 3[z + (z sprzężone) ]=7 nie znalazłem tu literki dla z sprzężonego... jakby coś było niejasne to po pierwszym przekształceniu: |z|+3*2a=7 nie wiem jakie rozwiązanie dla a (-7;1) - no chyba że niesk wiele rozwiazan
z góry dziękuję za pomoc:)
Lukasz_C747
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieluń
Pomógł: 99 razy

3 krótkie? równania

Post autor: Lukasz_C747 »

\(\displaystyle{ z^2-5z+7+i = 0\\
\Delta = (-5)^2-4*(7+i) = -3-4i\\
\sqrt{\Delta} = 1-2i -1+2i\\
z = \frac{5+1-2i}{2} = 3-i z = \frac{5-1+2i}{2} = 2+i}\)

\(\displaystyle{ z^4-3z^2+4=0\\
\Delta = (-3)^2-4*4 = -7\\
\sqrt{-7} = i\sqrt{7} -i\sqrt{7}\\
z^2=\frac{3+i\sqrt{7}}{2} z^2=\frac{3-i\sqrt{7}}{2}\\}\)

Dalej chyba najszybciej będzie ze wzoru (a-b)(a+b)=a^2-b^2.
\(\displaystyle{ z=a+ib\\
a^2+b^2+6a=7\\
a^2+6a+9+b^2=7+9\\
(a+3)^2+b^2=4^2\\}\)

To daje nam koło o środku w (-3,0) i promieniu 4.
qkiz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 26 paź 2008, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gc

3 krótkie? równania

Post autor: qkiz22 »

dzięki Łukasz, mam jeszcze prośbę- jak wyprowadziłeś ten pierwiastek z delty w 1ym zadaniu? bo ja na pierwiatek liczby zespolonej znam tylko jeden- przez sinusy i cosinusy i tamtym sposobem mi wlasnie nie wychodziło

a no i nie do końca rozumiem skąd się nadle wzięło a^2 +b^2+6a+7=0
Lukasz_C747
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieluń
Pomógł: 99 razy

3 krótkie? równania

Post autor: Lukasz_C747 »

Zgadłem. Przy prostych przypadkach korzystamy z wzoru poniżej i zgadujemy:
\(\displaystyle{ (a+ib)^2 = a^2-2aib-(ib)^2 = (a^2-b^2)-i*(2ab)\\
-3-4i = 1-4i-4 = 1^2-4i+(2i)^2}\)

Przez zamianę na postać trygonometryczną i wzór de'Moivre'a można, ale problem w tym, że musi nam wyjść cos i sin, bo inaczej musimy operować na jakiejś abstrakcji.
\(\displaystyle{ z*\overline{z} +3(z+\overline{z})=7\\
(a+ib)(a-ib)+3(a+ib+a-ib)=7\\
a^2-(ib)^2+3*2a=7\\
a^2+b^2+6a=7\\}\)
qkiz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 26 paź 2008, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gc

3 krótkie? równania

Post autor: qkiz22 »

a ok:), odpowiedz na drugie i trzecie mi sie zlaly razem i sie zgubilem:) tylko teraz wlasciwie nie wiem jak 2 dokonczyc bo do tego momentu co napisales to doszedlem
ODPOWIEDZ