Oblicz pierwiastek z liczby zespolonej

[gosia19]

a) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8i}}\)
b) \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-4}}\)

Proszę o pomoc, bo mi jakieś bzdury wychodzą:/

[tiraeth]

a) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8i} = 2i}\)
Uzasadnienie:
\(\displaystyle{ (2i)^3 = 2^3 i^3 = 8 i^2 i = -8i}\)

b) \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-4} = \sqrt{\sqrt{-4}} = \sqrt{2i} = \{\sqrt{2i}, -\sqrt{2i}\}}\)
Uzasadnienie:
\(\displaystyle{ \sqrt[2a]{x} = \sqrt[a]{\sqrt[a]{x}} \\
(2i)^2 = 4i^2 = -4 \sqrt{-4} = 2i}\)

Chyba dobrze... Mam nadzieję.

[Lorek]

Chyba dobrze... Mam nadzieję.

Prawie, pomijając fakt, że w pierwszym przypadku powinny być 3 pierwiastki, a w drugim 4. Ale sposób rozwiązania ciekawy, gdyby go trochę rozwinąć:
\(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{-8i}\\z^3+8i=0\\z^3-(2i)^3=0\\(z-2i)(z^4+2iz-4)=0}\)
itd. i 2:
\(\displaystyle{ z^4+4=0\\(z^2-2i)(z^2+2i)=0\\(z-2-i)(z+2+i)(z-2+i)(z+2-i)=0}\)
bo \(\displaystyle{ \pm 2i=(1\pm i)^2}\)

[tiraeth]

W sumie zgodzę się. Z Faktu o wzorach na pierwiastki z liczb zespolonych wiemy, że
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \{z_0,z_1,\ldots,z_{n-1}\}}\)
Czyli faktycznie w a) powinny być 3, a w b) 4 pierwiastki.

[gosia19]

Czy tylko ja mam takiego profesora co karze nam rozwiązywać to w postaci trygonometrycznej?

Konkretnie chodziło mi o skorzystanie z tego wzoru:
\(\displaystyle{ \nu_{k}= \sqrt[n]{ ft|z \right| }( cos\frac{\phi+2\pi k}{n}+ isin\frac{\phi+2\pi k}{n})}\)

Może ktoś się pokusi i pokarze mi jak to rozwiązać przy użyciu tego wzoru? Bardzo proszę.

[tiraeth]

Właśnie chciałem o tym napisać.

Dla przykładu, podpunkt a, bo właśnie go robiłem:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8i} z=-8i |z|=\sqrt{64}=8 \sqrt[3]{|z|}=2 \\
\sin\varphi=\frac{\Im(z)}{|z|} = \frac{-8}{8} = -1 \varphi = \frac{3}{2}\pi}\)

Liczymy pierwiastki, będzie ich trzy, bo mamy pierwiastek trzeciego stopnia.
\(\displaystyle{ z_0 = 2\left(\cos\frac{\frac{3}{2}\pi+2\cdot0\cdot\pi}{3} + i\sin\frac{\frac{3}{2}\pi+2\cdot0\cdot\pi}{3}\right) = 2i}\)

\(\displaystyle{ z_1 = 2\left(\cos\frac{\frac{3}{2}\pi+2\cdot1\cdot\pi}{3} + i\sin\frac{\frac{3}{2}\pi+2\cdot1\cdot\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} + i}\)

\(\displaystyle{ z_2 = 2\left(\cos\frac{\frac{3}{2}\pi+2\cdot2\cdot\pi}{3} + i\sin\frac{\frac{3}{2}\pi+2\cdot2\cdot\pi}{3}\right) = \sqrt{3} - i}\)

[gosia19]

Mnie wyszło:
\(\displaystyle{ z_{0} =2i}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= -\sqrt{3}+i}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= \sqrt{3}+i}\)

A w odp. jest:
\(\displaystyle{ z_{0} =2i}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt{3}-i}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=- \sqrt{3}-i}\)

Może ktoś wie która odpowiedź jest dobra?

[tiraeth]

Sam już nie wiem,

W moim \(\displaystyle{ z_1}\) mamy \(\displaystyle{ \alpha = \frac{5}{6}\pi = \pi - \frac{\pi}{6}}\), Więc po odpowiedniej zamianie z redukcji kątów, powinno być tak jak napisałem. A w Twoich odpowiedziach jest inaczej. Hmmm, teraz u siebie nie mogę tego sprawdzić, bo do list, które posiadam, nie ma odpowiedzi

W konkretnym przykładzie z \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8i}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \alpha_k = \frac{\frac{3}{2}\pi + 2k\pi}{3} = \frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\pi+2k\pi\right) =
\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3} _k = \frac{\pi}{2} + \beta}\)
Więc odpowiednio:
\(\displaystyle{ \sin(\frac{\pi}{2}+\beta) = \cos\beta}\)
\(\displaystyle{ \cos(\frac{\pi}{2}+\beta) = -\sin\beta}\)

I wtedy faktycznie mamy \(\displaystyle{ z_1 = -\sqrt{3} - i}\). Ale jak nie wyciągniemy tego \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), tylko na końcu, już po zmianie na \(\displaystyle{ \frac{5}{6}\pi = \pi-\frac{\pi}{6}}\), nie otrzymujemy -sin dla cos i cos dla sin, tylko sin dla sin oraz -cos dla cos. W kącie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\). Więc już zupełnie pogubiłem się...

[gosia19]

Eh, mimo wszystko dzięki
Zapytam się na ćwiczeniach.
Może w odp. jest błąd, bo w tej książce zdarzają błędy.
Jak już będę wiedziała to napisze, no chyba, że ktoś wcześniej rozwiąże
Pozdrawiam

[tiraeth]

No właśnie taką samą odpowiedź, jak w Twoich odpowiedziach, mam w zeszycie z wykładu.

I mnie to zastanawia. Czy to oznacza, że należy najpierw wyznaczyć wzór na \(\displaystyle{ z_k}\) niezależny w swoich późniejszych formach od \(\displaystyle{ \varphi}\)? Znaczy, żeby wpisywany kąt dla każdego \(\displaystyle{ z_k}\) był już wtedy zależny od \(\displaystyle{ k}\)?