pierwiastek 3. stopnia z liczby zespolonej

[Ugonio]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{1-5i}{1+i} -5 \frac{1+2i}{2-i}+2 }}\)

ile wynosi \(\displaystyle{ \varphi}\) oraz \(\displaystyle{ \left| z\right|}\)?

[Szemek]

uprość wyrażenie pod pierwiastkiem,
mianowniki poszczególnych ułamków przemnóż przez ich liczby sprzężone

[Ugonio]

uczyniłem tak, lecz coś mi się nie zgadza.. otóż wyszło mi po uproszczeniu \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-4}}\), czyli \(\displaystyle{ \left|z \right| =4}\), czyli \(\displaystyle{ \varphi=\pi}\), zatem dla k=0 pierwiastek wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt[3]{4} ft( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right)}\), a w odpowiedzi podane jest 2i - gdzie popełniłem błąd?

[Szemek]

\(\displaystyle{ \frac{1-5i}{1+i} -5 \frac{1+2i}{2-i}+2 = \frac{(1-5i)(1-i)}{1-(-1)} - \frac{5(1+2i)(2+i)}{4-(-1)}+2 = \\ = \frac{1-i-5i-5}{2}-(2+i+4i-2)+2 = -2-3i-5i+2=-8i}\)

\(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{-8i}}\)