kilka równań

[sabres89]

Chciałem się zapytać czy rozwiązałem dobrze, ale mod mi to usunął... Więc proszę jak to rozwiązać

\(\displaystyle{ \frac{7+i}{1-i}}\)

\(\displaystyle{ (-1+i)^{12}}\)
lub
\(\displaystyle{ (-1+i)^{-12}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-5-12i}}\)

\(\displaystyle{ \overline{z}*z^{2}=1}\)

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ \frac{7+i}{1-i}=
\frac{(7+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=
\frac{7+7i+i-1}{2}=
\frac{6+8i}{2}=
3+4i}\)



2.
\(\displaystyle{ w=(-1+i)^{12}=z^{12}\\
z=-1+i=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=
\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right)\\
w=z^{12}=
(\sqrt{2})^{12}\left(\cos\frac{3\pi\cdot 12}{4}+i\sin \frac{3\pi\cdot 12}{4}\right)=\ldots}\)

3 przykald analogicznie


4.
\(\displaystyle{ \sqrt{-5-12i}=z\\
-5-12i=z^2\\
-5-12i=(x+iy)^2\\
x^2-y^2+2xyi=-5-12i\\
\begin{cases}
x^2-y^2=-5\\
2xy=-12\end{cases}\\
\begin{cases}
x^2-y^2=-5\\
xy=-6\end{cases}\\
x=\frac{-6}{y}
ft(\frac{-6}{y}\right)^2-y^2=-5\\
\ldots}\)

Dalej rozwiazac uklad i beda dwie odpowiedzi



5. Tutaj wystarczy podstawic i wymnozyc:
\(\displaystyle{ \overline{z}\cdot z^{2}=1\\
z=x+iy\\
\overline{z}=x-iy\\
(x-iy)(x^2-y^2+2xyi)=1\\
\ldots}\)

Po uszeregowaniu przyrownujemy \(\displaystyle{ \Re}\) z lewej do \(\displaystyle{ \Re}\) z prawej oraz \(\displaystyle{ \Im}\) z lewej do \(\displaystyle{ \Im}\) z prawej, bo otrzymac jakis uklad do rozwiazania Pozdrawiam.

[sabres89]

dziękuję a pytanie, ten drugi przykład.. z jakiego wzoru wziąłeś, twierdzenie kogo?
rozumiem do tego, że wychodzi pierwiastek z dwóch. Ale jak to jest potem za tym w nawiasach , to już nie łapię (druga i trzecia linijka 2-giego zadania)

[soku11]

Majac takie 'ladne' liczby, mozna tak wyciagac przed nawias, by otrzymac znane liczby zespolone. Tutaj tak wlasnie zrobilem. Tzn. wyciagnalem \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), co dalo mi:
\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Tutaj juz wiadomo o jakie katy chodzi, bo:
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

My mamy niestety tam dodatkowy minus, wiec piszemy zalozenia, ktore ta liczba spelnia, tj:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos\varphi=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)

Wystarczy znalezc jaki to bedzie kat. Odrazu widac, ze bedzie on w II cwiartce ukladu (\(\displaystyle{ \cos\alpha0}\)). Tak wiec trzeba od kata pelnego odjac kat \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Daje nam to ozywiscie kat \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) (poprawilem w poscie).
No i na koncu ze wzoru demoivre'a na potegowanie liczb zespolonych
Pozdrawiam.