równanie - liczby zespolone

[Onyx]

Cześć!

Mamy rozwiązać równanie : \(\displaystyle{ z^3=-27}\)

Jak się za to zabrać ? Należy postawić \(\displaystyle{ z=x+iy}\) czy trzeba skorzystać z postaci wykładniczej liczby zespolonej ? Proszę o rozwiązanie tego równania.

[Lorek]

\(\displaystyle{ z^3=-27\\z^3+27=0\\(z+3)(z^2-3z+9)=0}\)
itd.

[Onyx]

\(\displaystyle{ (z+3)}\) , czyli \(\displaystyle{ z=-3}\)

Następnie mamy \(\displaystyle{ (z^2-3z+9)}\), więc \(\displaystyle{ \Delta}\)

[tiraeth]

Jaki koniec? Ten warunek to dla równania kwadratowego w liczbach rzeczywistych a nie zespolonych. Normalnie liczysz deltę i pierwiastek z niej na zespolonych.

[Onyx]

Czyli \(\displaystyle{ z_{1}=-3,\ z_{2}=\frac{3+\sqrt{27}}{2},\ z_{3}=\frac{3-\sqrt{27}}{2}}\)

Czy to jedyny sposób rozwiązywania tego typu równań ?

Przy okazji prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego równania :

\(\displaystyle{ z^3=8(1+i)^3}\)

[Lorek]

Można i de Moivrem się pobawić, albo na przykład tym, że
\(\displaystyle{ z^n=w^n\Rightarrow z=w\sqrt[n]{1}}\)
(przydatne np. w ostatnim przykładzie)

[Onyx]

\(\displaystyle{ z^{3}=8(1+i)^{3} z^{3}=(8+8i)^{3}}\) Równanie ma mieć 3 pierwiastki. Jednym z nich na pewno bedzie \(\displaystyle{ z_{1}=2+2i}\) Jak policzyć dwa pozostałe ?

Obliczając de moivrem wyrażenie \(\displaystyle{ (8+8i)^3}\) mamy :

\(\displaystyle{ r=\sqrt{128}, \\ cos\phi=\frac{8}{\sqrt{128}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ sin\phi=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ argz=\frac{\pi}{4} \\\
(8+8i)^{3}=[(\sqrt{128})^{3}(\cos 3\cdot \frac{\pi}{4} + i \sin 3\cdot \frac{\pi}{4})]=[128\sqrt{128}(\frac{-\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})]}\)

Jednak nie wiem jak można skorzystac z tych obliczeń wyliczając równanie \(\displaystyle{ z^{3}=8(1+i)^{3}}\)

[tiraeth]

Jak masz jeden pierwiastek, to obliczenie reszty nie będzie problemem. Równanie ma mieć trzy pierwiastki trzeciego stopnia.

\(\displaystyle{ z_k = z_0(\cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}),\quad k = \{1,2\} \\ \\
z_0 = 2+2i}\)

[Onyx]

\(\displaystyle{ z_{0}=2+2i \\
z_{1}=(2+2i)(\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}) \ \ \ \ k=1 \\ \cos120^{\circ}=cos(180^{\circ}-60^{\circ})=-\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2} \\
\sin120^{\circ}=sin(180^{\circ}-60^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\}\)

Podstawiając te wartości mamy :

\(\displaystyle{ z_{2}=(2+2i)(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})= -1 - \sqrt{3} + (\sqrt{3} - 1)i \\}\)

Dalej :

\(\displaystyle{ z_{2}=z_{1}(\cos \frac{4 \pi}{3} + i \sin \frac{4 \pi}{3}) \ \ \ \ k=2 \\
\cos240^{\circ}=cos(180^{\circ}+60^{\circ})=-\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2} \\
\sin240^{\circ}=sin(180^{\circ}+60^{\circ})=-\sin60^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\
z_{2}=(-1 - \sqrt{3} + (\sqrt{3} - 1)i )(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \\}\)

Proszę o sprawdzenie czy wszystko dobrze jest rozwiązane.

[Harry Xin]

Ja mam wątpliwości.
Odnośnie pierwszego przykładu. Delta wyniosła "-27", więc chyba powinieneś zapisać:
\(\displaystyle{ z _{1} =-3, \ z _{2} = \frac{3+ \sqrt{-27} }{2} , \ z _{3} = \frac{3- \sqrt{-27} }{2}}\).
No i według tego czego mnie do tej pory uczyli to:
\(\displaystyle{ z ^{3} =8(1+i) ^{3} z ^{3} =(2+2i) ^{3}}\).
Czy się mylę?

[tiraeth]

Jak -27?
Jak równanie ma: \(\displaystyle{ (z^2-3z+9)}\)
To delta: \(\displaystyle{ \Delta = 9-36 = -25}\)

A to już i tak musi sobie z zespolonych policzyć (pierwiastki z -25).

Odnośnie drugiego: To że Cię do tej pory czegoś uczyli w liceum/technikum nie znaczy, że tak jest faktycznie.

Sprawdź sobie jakie liczby zespolone podniesione do potęgi trzeciej dają 8. A potem wypisuj głupoty.

Przypomnę jeszcze, że to dział Algebra / Liczby zespolone a nie liczby rzeczywiste...

[Harry Xin]

Sorki. Chodziło mi o po prostu o tego minusa i tak przepisałem. Ale mimo wszystko dzieki, że mnie uświadomiłeś.

@edit:
Od razu zaznaczyłem, że mam "wątpliwości".

[Onyx]

Rozumiem że drugie równanie jest dobrze policzone ? Odnośnie pierwszego równania proszę wyjaśnienie jak w końcu powinno być policzone.

[Harry Xin]

\(\displaystyle{ z _{1} =-3, \ z _{2} = \frac{3+ \sqrt{-25} }{2}= \frac{3+5i}{2} , \ z _{3} = \frac{3- \sqrt{-25} }{2}= \frac{3-5i}{2}}\)

[tiraeth]

Niezupełnie.

\(\displaystyle{ \sqrt{-25} = \sqrt{25\cdot(-1)} = 5\sqrt{-1} = 5i}\)

Choć ostateczna odpowiedź jest prawidłowa, to nieprawidłowe jest dojście do niej. Teoretycznie masz z tego cztery rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych, z tym, że się powtarzają, więc ostatecznie masz dwa.