Zabawa z de Moivre'iem

[Harry Xin]

Korzystając ze wzoru de Moivre'a wyrazić:
\(\displaystyle{ \sin 3x}\) przez funkcję \(\displaystyle{ \sin x}\)

[Lorek]

\(\displaystyle{ \cos 3x+i\sin 3x=(\cos x+i\sin x)^3}\)
wystarczy rozpisać prawą stronę i porównać części urojone.

[Harry Xin]

A więc próbuję to zrobić:
\(\displaystyle{ \cos 3x + i\sin3x=( \cos x +i \sin x ) ^{3}}\) (ze wzoru de Moivre'a)
\(\displaystyle{ \cos3x+isin3x=\cos ^{3} x+3i\cos ^{2} x \sin x-3\cos x \sin ^{2}x-i\sin ^{3}x
\\ i\sin3x=3i\cos ^{2} x\sin x-i \sin ^{3}x
\\ \sin3x=3cos ^{2} x\sin x -sin ^{3}
\\ \sin3x=3(1-sin ^{2}x)\sin x-sin ^{3}x
\\ \sin3x=3\sin x-3\sin ^{3}x-\sin ^{3}x
\\ \sin3x=-4sin ^{3}x+3\sin x
\\ \sin3x=\sin x(3-4\sin ^{2}x)}\)
Dobrze?

@edit:
Wiem, że dobrze.