równanie

[nitka_angel]

Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \left(z-4 \right) ^{2} = 2i}\)
Pomoże ktoś?? Z góry dzięki !!!

[Harry Xin]

\(\displaystyle{ (z-4) ^{2}=2i
\\ z ^{2}-8z+16=2i}\)
Niech
\(\displaystyle{ z=x+yi
\\ (x+yi) ^{2}-8(x+yi)+16=2i
\\ x ^{2}+2xyi-y ^{2}-8x-8yi+16=2i
\\ (x ^{2}-8x-y ^{2}+16)+i(2xy-8y-2)=0
\\ \begin{cases} x ^{2}-8x-y ^{2}+16=0 \\ 2xy-8y-2=0 \end{cases}
\\ y(2x-8)-2=0
\\ 2x-8= \frac{2}{y} \ , \ y 0
\\ 2x= \frac{2+8y}{y}
\\ x= \frac{1+4y}{y}
\\ x ^{2}-8x-y ^{2}+16=0
\\ ( \frac{1+4y}{y}) ^{2} -8 \frac{1+4y}{y} -y ^{2}+16=0
\\ 1+8y+16y ^{2}-8y-32y ^{2}-y ^{4}+16y ^{2}=0
\\ y ^{4}-1=0
\\ (y ^{2}-1)(y ^{2}+1)=0
\\ (y-1)(y+1)(y ^{2}+1)=0
\\ y=1 y=-1 y \phi}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{o} y=1 x= \frac{1+4*1}{1}=5
\\ 2 ^{o} y=-1 x= \frac{1+4(-1)}{-1}=3
\\ z \{3-i;5+i\}}\)

@edit:
Korekta (przy przepisywaniu do Latexa pogubiłem się w tych slashach. ;/

[jacek05]

\(\displaystyle{ z^{2}-8z+16-2i=0}\)

no czyli mamy kwadratowe równanie więc obliczymy sobie delte
\(\displaystyle{ \Delta=64-64+2i=2i}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{8- \sqrt{2i}}{2}
z_{2}=\frac{8+ \sqrt{2i}}{2}}\)

no i mamy tylko do obliczenia pierwiastka z 2i.

możemy skorzystać z wzorów na pierwiastek kwadratowy liczby zepolonej :
\(\displaystyle{ \sqrt{2i}= \sqrt{\frac{0+2}{2}}+ i\sqrt{\frac{-0+2}{2}}=1+i}\)

no i wystarczy podstawić do rozwiazan.

[Harry Xin]

\(\displaystyle{ z^{2}-8z+16-2i=0}\)

no czyli mamy kwadratowe równanie więc obliczymy sobie delte
\(\displaystyle{ \Delta=64-64+2i=2i}\)

Jeżeli już robić w ten sposób to źle policzona delta. Powinno być:
\(\displaystyle{ \Delta=64-64+8i=8i}\)
No i oczywiście ten błąd rachunkowy rzutuje już do końca.

[jacek05]

aaa, no tak. sory. no ale to ideowo nie wiele zmienia. wystarczy podstawić inną liczbę.

[Harry Xin]

A nie możesz napisać jeszcze raz dla nowej wartości? Bym się lepiej przyjrzał jak wygląda ten sposób.
Tylko nie zmieniaj ani nie kasuj poprzedniego posta!
Musi być do czego porównać.

[nitka_angel]

Dziękuję pięknie za pomoc

[jacek05]

A nie możesz napisać jeszcze raz dla nowej wartości? Bym się lepiej przyjrzał jak wygląda ten sposób.
Tylko nie zmieniaj ani nie kasuj poprzedniego posta!
Musi być do czego porównać.

no bo ogólnie mamy wzory na pierwiastki drugiego stopnia.

\(\displaystyle{ \sqrt{a+bi}=\pm \sqrt{a} \ dla \ a \geqslant 0, b=0 \\
\sqrt{a+bi}=\pm \sqrt{-a} \ dla \ a \leqslant 0, b=0 \\
\sqrt{a+bi}=\pm \left( \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} + isgnb \sqrt{\frac{-a+ \sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} \right) \ dla \ b \neq 0 \\}\)
gdzie funkcja sgn jest zdefiniowana jako
\(\displaystyle{ sgnx= \begin{cases} 1 \ dla \ x>0\\0 \ dla \ x=0\\ -1 \ dla \ x}\)

[Harry Xin]

To w takim razie ja również dziękuję za pomoc.

[nitka_angel]

\(\displaystyle{ \left(z-4 \right) ^{2} = 2i}\)
\(\displaystyle{ z-4 = \sqrt{2i} = \sqrt{2(cos \frac{ }{2} } + i sin \frac{ }{2}}\)
\(\displaystyle{ z-4= \sqrt{2} (cos \frac{ \frac{ }{2} + 2k ; }{2} + i sin \frac{ \frac{ }{2} + 2k ; }{2} )}\)
\(\displaystyle{ k=0,1}\)
\(\displaystyle{ k=0}\)
\(\displaystyle{ z-4= \sqrt{2} ( \frac{ \sqrt{2} }{2} + i sin \frac{ \sqrt{2} }{2} )}\)
\(\displaystyle{ z_{1} = 1+ i + 4 =5+i}\)
\(\displaystyle{ k=1}\)
\(\displaystyle{ z-4= \sqrt{2} (cos \frac{5}{4} + i sin \frac{5}{4} ) =
\sqrt{2} (cos ( + \frac{ }{4} ) +i sin ( + \frac{ }{4} ))=}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt{2} (- \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} i )= -1-i}\)
\(\displaystyle{ z _{2} = -1 - i+ 4=3-i}\)

wiec wyszly fajne wyniki : z 1 = 5 + i oraz z 2 = 3 - i, wnioskuje ze rozwiazania kolegi Harry Xin były ok jesli chodzi o czesc rzeczywistą. Tak jest szybciej i przyjemniej
Pozdrawiam
Przy okazji dziekuje za wskazowki
Pozdrawiam

[Lorek]

\(\displaystyle{ (z-4)^2=2i=(1+i)^2}\)
bez bawienia się w pierwiastki