równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 21:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 14 razy
równanie
Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \left(z-4 \right) ^{2} = 2i}\)
Pomoże ktoś?? Z góry dzięki !!!
\(\displaystyle{ \left(z-4 \right) ^{2} = 2i}\)
Pomoże ktoś?? Z góry dzięki !!!
- Harry Xin
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 148 razy
- Pomógł: 83 razy
równanie
\(\displaystyle{ (z-4) ^{2}=2i
\\ z ^{2}-8z+16=2i}\)
Niech
\(\displaystyle{ z=x+yi
\\ (x+yi) ^{2}-8(x+yi)+16=2i
\\ x ^{2}+2xyi-y ^{2}-8x-8yi+16=2i
\\ (x ^{2}-8x-y ^{2}+16)+i(2xy-8y-2)=0
\\ \begin{cases} x ^{2}-8x-y ^{2}+16=0 \\ 2xy-8y-2=0 \end{cases}
\\ y(2x-8)-2=0
\\ 2x-8= \frac{2}{y} \ , \ y 0
\\ 2x= \frac{2+8y}{y}
\\ x= \frac{1+4y}{y}
\\ x ^{2}-8x-y ^{2}+16=0
\\ ( \frac{1+4y}{y}) ^{2} -8 \frac{1+4y}{y} -y ^{2}+16=0
\\ 1+8y+16y ^{2}-8y-32y ^{2}-y ^{4}+16y ^{2}=0
\\ y ^{4}-1=0
\\ (y ^{2}-1)(y ^{2}+1)=0
\\ (y-1)(y+1)(y ^{2}+1)=0
\\ y=1 y=-1 y \phi}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{o} y=1 x= \frac{1+4*1}{1}=5
\\ 2 ^{o} y=-1 x= \frac{1+4(-1)}{-1}=3
\\ z \{3-i;5+i\}}\)
@edit:
Korekta (przy przepisywaniu do Latexa pogubiłem się w tych slashach. ;/
\\ z ^{2}-8z+16=2i}\)
Niech
\(\displaystyle{ z=x+yi
\\ (x+yi) ^{2}-8(x+yi)+16=2i
\\ x ^{2}+2xyi-y ^{2}-8x-8yi+16=2i
\\ (x ^{2}-8x-y ^{2}+16)+i(2xy-8y-2)=0
\\ \begin{cases} x ^{2}-8x-y ^{2}+16=0 \\ 2xy-8y-2=0 \end{cases}
\\ y(2x-8)-2=0
\\ 2x-8= \frac{2}{y} \ , \ y 0
\\ 2x= \frac{2+8y}{y}
\\ x= \frac{1+4y}{y}
\\ x ^{2}-8x-y ^{2}+16=0
\\ ( \frac{1+4y}{y}) ^{2} -8 \frac{1+4y}{y} -y ^{2}+16=0
\\ 1+8y+16y ^{2}-8y-32y ^{2}-y ^{4}+16y ^{2}=0
\\ y ^{4}-1=0
\\ (y ^{2}-1)(y ^{2}+1)=0
\\ (y-1)(y+1)(y ^{2}+1)=0
\\ y=1 y=-1 y \phi}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{o} y=1 x= \frac{1+4*1}{1}=5
\\ 2 ^{o} y=-1 x= \frac{1+4(-1)}{-1}=3
\\ z \{3-i;5+i\}}\)
@edit:
Korekta (przy przepisywaniu do Latexa pogubiłem się w tych slashach. ;/
Ostatnio zmieniony 23 paź 2008, o 20:40 przez Harry Xin, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 16 kwie 2006, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 1 raz
równanie
\(\displaystyle{ z^{2}-8z+16-2i=0}\)
no czyli mamy kwadratowe równanie więc obliczymy sobie delte
\(\displaystyle{ \Delta=64-64+2i=2i}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{8- \sqrt{2i}}{2}
z_{2}=\frac{8+ \sqrt{2i}}{2}}\)
no i mamy tylko do obliczenia pierwiastka z 2i.
możemy skorzystać z wzorów na pierwiastek kwadratowy liczby zepolonej :
\(\displaystyle{ \sqrt{2i}= \sqrt{\frac{0+2}{2}}+ i\sqrt{\frac{-0+2}{2}}=1+i}\)
no i wystarczy podstawić do rozwiazan.
no czyli mamy kwadratowe równanie więc obliczymy sobie delte
\(\displaystyle{ \Delta=64-64+2i=2i}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{8- \sqrt{2i}}{2}
z_{2}=\frac{8+ \sqrt{2i}}{2}}\)
no i mamy tylko do obliczenia pierwiastka z 2i.
możemy skorzystać z wzorów na pierwiastek kwadratowy liczby zepolonej :
\(\displaystyle{ \sqrt{2i}= \sqrt{\frac{0+2}{2}}+ i\sqrt{\frac{-0+2}{2}}=1+i}\)
no i wystarczy podstawić do rozwiazan.
- Harry Xin
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 148 razy
- Pomógł: 83 razy
równanie
Jeżeli już robić w ten sposób to źle policzona delta. Powinno być:jacek05 pisze:\(\displaystyle{ z^{2}-8z+16-2i=0}\)
no czyli mamy kwadratowe równanie więc obliczymy sobie delte
\(\displaystyle{ \Delta=64-64+2i=2i}\)
\(\displaystyle{ \Delta=64-64+8i=8i}\)
No i oczywiście ten błąd rachunkowy rzutuje już do końca.
- Harry Xin
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 148 razy
- Pomógł: 83 razy
równanie
A nie możesz napisać jeszcze raz dla nowej wartości? Bym się lepiej przyjrzał jak wygląda ten sposób.
Tylko nie zmieniaj ani nie kasuj poprzedniego posta!
Musi być do czego porównać.
Tylko nie zmieniaj ani nie kasuj poprzedniego posta!
Musi być do czego porównać.
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 21:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 14 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 16 kwie 2006, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 1 raz
równanie
no bo ogólnie mamy wzory na pierwiastki drugiego stopnia.Harry Xin pisze:A nie możesz napisać jeszcze raz dla nowej wartości? Bym się lepiej przyjrzał jak wygląda ten sposób.
Tylko nie zmieniaj ani nie kasuj poprzedniego posta!
Musi być do czego porównać.
\(\displaystyle{ \sqrt{a+bi}=\pm \sqrt{a} \ dla \ a \geqslant 0, b=0 \\
\sqrt{a+bi}=\pm \sqrt{-a} \ dla \ a \leqslant 0, b=0 \\
\sqrt{a+bi}=\pm \left( \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} + isgnb \sqrt{\frac{-a+ \sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} \right) \ dla \ b \neq 0 \\}\)
gdzie funkcja sgn jest zdefiniowana jako
\(\displaystyle{ sgnx= \begin{cases} 1 \ dla \ x>0\\0 \ dla \ x=0\\ -1 \ dla \ x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 21:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 14 razy
równanie
\(\displaystyle{ \left(z-4 \right) ^{2} = 2i}\)
\(\displaystyle{ z-4 = \sqrt{2i} = \sqrt{2(cos \frac{ }{2} } + i sin \frac{ }{2}}\)
\(\displaystyle{ z-4= \sqrt{2} (cos \frac{ \frac{ }{2} + 2k ; }{2} + i sin \frac{ \frac{ }{2} + 2k ; }{2} )}\)
\(\displaystyle{ k=0,1}\)
\(\displaystyle{ k=0}\)
\(\displaystyle{ z-4= \sqrt{2} ( \frac{ \sqrt{2} }{2} + i sin \frac{ \sqrt{2} }{2} )}\)
\(\displaystyle{ z_{1} = 1+ i + 4 =5+i}\)
\(\displaystyle{ k=1}\)
\(\displaystyle{ z-4= \sqrt{2} (cos \frac{5}{4} + i sin \frac{5}{4} ) =
\sqrt{2} (cos ( + \frac{ }{4} ) +i sin ( + \frac{ }{4} ))=}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt{2} (- \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} i )= -1-i}\)
\(\displaystyle{ z _{2} = -1 - i+ 4=3-i}\)
wiec wyszly fajne wyniki : z 1 = 5 + i oraz z 2 = 3 - i, wnioskuje ze rozwiazania kolegi Harry Xin były ok jesli chodzi o czesc rzeczywistą. Tak jest szybciej i przyjemniej
Pozdrawiam
Przy okazji dziekuje za wskazowki
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ z-4 = \sqrt{2i} = \sqrt{2(cos \frac{ }{2} } + i sin \frac{ }{2}}\)
\(\displaystyle{ z-4= \sqrt{2} (cos \frac{ \frac{ }{2} + 2k ; }{2} + i sin \frac{ \frac{ }{2} + 2k ; }{2} )}\)
\(\displaystyle{ k=0,1}\)
\(\displaystyle{ k=0}\)
\(\displaystyle{ z-4= \sqrt{2} ( \frac{ \sqrt{2} }{2} + i sin \frac{ \sqrt{2} }{2} )}\)
\(\displaystyle{ z_{1} = 1+ i + 4 =5+i}\)
\(\displaystyle{ k=1}\)
\(\displaystyle{ z-4= \sqrt{2} (cos \frac{5}{4} + i sin \frac{5}{4} ) =
\sqrt{2} (cos ( + \frac{ }{4} ) +i sin ( + \frac{ }{4} ))=}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt{2} (- \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} i )= -1-i}\)
\(\displaystyle{ z _{2} = -1 - i+ 4=3-i}\)
wiec wyszly fajne wyniki : z 1 = 5 + i oraz z 2 = 3 - i, wnioskuje ze rozwiazania kolegi Harry Xin były ok jesli chodzi o czesc rzeczywistą. Tak jest szybciej i przyjemniej
Pozdrawiam
Przy okazji dziekuje za wskazowki
Pozdrawiam