Witam,
mam za zadanie znaleźć wszystkie zespolone pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ z^{21}-z^{16}-z^{11}+z^6}\) rozłożyłem go sobie na \(\displaystyle{ z^6(1+z^5)(1-z^5)^2}\) no i tu nie ukrywam nie wiem jak dalej
No i jeszcze 3 pytania
Czy wielomian 5 stopnia o współczynnikach rzeczywistych może mieć:
a) dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste i dokładnie trzy rożne nierzeczywiste?
b) dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste i dokładnie dwa rożne nierzeczywiste?
c) mniej niż trzy różne pierwiastki zespolone, z czego co najmniej jeden nierzeczywisty?
Rozumiem, że do odpowiedzi na te pytania muszę korzystać z zasadniczego twierdzenia algebry, czyli o ile się nie mylę...
a) NIE, ponieważ stopień jest nieparzysty, czyli 1 pierwiastek będzie rzeczywisty, a liczba pierwiastków nierzeczywistych ma będzie więc parzysta. Tylko pytanie moje brzmi czy jednak mogą być dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
w b i c intuicyjnie rzekłbym tak, ale czemu to nie wiem, wytłumaczy mi ktoś?
Z góry dziękuje za wszelkie objawy pomocy
Pierwiastki zespolone wielomianu + 3 pytania
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Pierwiastki zespolone wielomianu + 3 pytania
Wielomian masz juz gotowy:
1) Liczba \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem 6-krotnym.
2) Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ z^5+1}\) sa liczby \(\displaystyle{ e^{i\frac{k\pi}{5}}=\cos\frac{k\pi}{5}+i\sin\frac{k\pi}{5}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,3,5,7,9}\) (Standard, wynika np. ze wzoru de Moivre'a + zasadnicze tw. algebry.)
3) Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ z^5-1}\) (te sa dwukrotne, bo ten czynnik w drugiej potedze) sa liczby \(\displaystyle{ e^{i\frac{2k\pi}{5}}=\cos\frac{2k\pi}{5}+i\sin\frac{2k\pi}{5}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,4,5}\). (Standard, wynika np. ze wzoru de Moivre'a + zasadnicze tw. algebry.)
Pierwiastki nierzeczywiste wielomianow o wspolczynnikach rzeczywistych tworza pary: \(\displaystyle{ r.\overline{r}}\). Wynika to stad, ze jesli rozwazymy wielomian sprzezony, to jego wspolczynniki, jako liczby rzeczywiste, sie nie zmienia. Stad liczba nierzeczywistych pierwiastkow musi byc parzysta, co wyklucza a).
b) Jesli nie liczymy z krotnosciami, to TAK. Na przyklad pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ z^2(z^2+1)(z-1)}\) sa liczby \(\displaystyle{ 0,1,\pm i}\). Jesli liczymy z krotnosciami, to ten przypadek wyklucza zasadnicze tw. algebry.
c) Jesli nie liczymy z krotnosciami, to np wielomian \(\displaystyle{ (z^2+1)^2}\) spelnia warunki. Jego pierwiastki to \(\displaystyle{ \pm i}\). Jesli liczymy z krotnosciami, to oczywiscie nie.
1) Liczba \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem 6-krotnym.
2) Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ z^5+1}\) sa liczby \(\displaystyle{ e^{i\frac{k\pi}{5}}=\cos\frac{k\pi}{5}+i\sin\frac{k\pi}{5}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,3,5,7,9}\) (Standard, wynika np. ze wzoru de Moivre'a + zasadnicze tw. algebry.)
3) Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ z^5-1}\) (te sa dwukrotne, bo ten czynnik w drugiej potedze) sa liczby \(\displaystyle{ e^{i\frac{2k\pi}{5}}=\cos\frac{2k\pi}{5}+i\sin\frac{2k\pi}{5}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,4,5}\). (Standard, wynika np. ze wzoru de Moivre'a + zasadnicze tw. algebry.)
Pierwiastki nierzeczywiste wielomianow o wspolczynnikach rzeczywistych tworza pary: \(\displaystyle{ r.\overline{r}}\). Wynika to stad, ze jesli rozwazymy wielomian sprzezony, to jego wspolczynniki, jako liczby rzeczywiste, sie nie zmienia. Stad liczba nierzeczywistych pierwiastkow musi byc parzysta, co wyklucza a).
b) Jesli nie liczymy z krotnosciami, to TAK. Na przyklad pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ z^2(z^2+1)(z-1)}\) sa liczby \(\displaystyle{ 0,1,\pm i}\). Jesli liczymy z krotnosciami, to ten przypadek wyklucza zasadnicze tw. algebry.
c) Jesli nie liczymy z krotnosciami, to np wielomian \(\displaystyle{ (z^2+1)^2}\) spelnia warunki. Jego pierwiastki to \(\displaystyle{ \pm i}\). Jesli liczymy z krotnosciami, to oczywiscie nie.