pierwiastek z jedynki

[h3X]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania:

\(\displaystyle{ \epsilon _{k}= \cos \frac{2\pi k}{n} + i\sin \frac{2\pi k}{n}}\)

\(\displaystyle{ k= 0, 1, ..., n-1}\)

Pokaż że

\(\displaystyle{ \epsilon _{k}= \epsilon _{1}^{k} , \epsilon _{k} \epsilon _{l} = \epsilon _{k}_+_l}\)

Byłabym bardzo wdzieczna za pomoc, bo wogóle sie nie łapie od czego zaczac.

Pozdrawiam.

[xiikzodz]

Skorzystaj ze wzoru de Moivre'a:

\(\displaystyle{ (\cos\varphi+i\sin\varphi)^n=\cos n\varphi+i\sin n\varphi.}\)

[h3X]

Prosiłabym o początkowe rozpisanie tego, bo nie rozumiem jak to zastosować...

[xiikzodz]

\(\displaystyle{ \varepsilon_1^k=\left(\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\right)^k\stackrel{dM}{=}
\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}=\varepsilon_k}\)

Korzystajac dwukrotnie (tam gdzie stoi \(\displaystyle{ \star}\)) z powyzszego:

\(\displaystyle{ \varepsilon_k\varepsilon_l\stackrel{\star}{=}\varepsilon_1^k\varepsilon_1^l=\varepsilon_1^{k+l}\stackrel{\star}{=}\varepsilon_{k+l}}\).