Rozwiąż równanie:
a) \(\displaystyle{ z ^{3} = -1}\)
b) \(\displaystyle{ z ^{6} =-64}\)
z góry dzięki za pomoc
Rozwiąż rownanie
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Rozwiąż rownanie
a)
\(\displaystyle{ -1=e^{\pi i}=\cos\pi+i\sin\pi}\)
Zatem rozwiazaniami rownania
\(\displaystyle{ z^3=-1}\)
sa takie liczby
\(\displaystyle{ e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi}\),
ze
\(\displaystyle{ 3t=\pi+2k\pi}\).
Stad
\(\displaystyle{ t\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{3\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}}\)
Zatem rozwiazaniami sa:
\(\displaystyle{ -1, \frac{1+i\sqrt{3}}{2},\frac{1-i\sqrt{3}}{2}}\)
b)
Po pierwsze:
\(\displaystyle{ |z|^6=|-64|=64=2^6}\)
skad \(\displaystyle{ |z|=2}\).
Po drugie:
\(\displaystyle{ \left(\frac{z}{|z|}\right)^6=\frac{z^6}{|z|^6}=\frac{z^6}{64}=\frac{-64}{64}=-1}\)
Zatem liczba \(\displaystyle{ t=\frac{z}{|z|}}\) spelnia rownanie:
\(\displaystyle{ t^6=-1}\),
ktorego rozwiazaniami, otrzymanymi podobnie jak poprzednio, sa liczby
\(\displaystyle{ t=e^{\frac{k\pi}{6}i}=\cos\frac{ k\pi}{6}+i\sin\frac{k\pi}{6}}\)
dla
\(\displaystyle{ k=1,3,5,7,9,11}\).
Ostatecznie wiec:
\(\displaystyle{ z=2e^{\frac{k\pi}{6}i}=2\left(\cos\frac{ k\pi}{6}+i\sin\frac{k\pi}{6}\right)}\)
dla
\(\displaystyle{ k=1,3,5,7,9,11}\).
\(\displaystyle{ -1=e^{\pi i}=\cos\pi+i\sin\pi}\)
Zatem rozwiazaniami rownania
\(\displaystyle{ z^3=-1}\)
sa takie liczby
\(\displaystyle{ e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi}\),
ze
\(\displaystyle{ 3t=\pi+2k\pi}\).
Stad
\(\displaystyle{ t\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{3\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}}\)
Zatem rozwiazaniami sa:
\(\displaystyle{ -1, \frac{1+i\sqrt{3}}{2},\frac{1-i\sqrt{3}}{2}}\)
b)
Po pierwsze:
\(\displaystyle{ |z|^6=|-64|=64=2^6}\)
skad \(\displaystyle{ |z|=2}\).
Po drugie:
\(\displaystyle{ \left(\frac{z}{|z|}\right)^6=\frac{z^6}{|z|^6}=\frac{z^6}{64}=\frac{-64}{64}=-1}\)
Zatem liczba \(\displaystyle{ t=\frac{z}{|z|}}\) spelnia rownanie:
\(\displaystyle{ t^6=-1}\),
ktorego rozwiazaniami, otrzymanymi podobnie jak poprzednio, sa liczby
\(\displaystyle{ t=e^{\frac{k\pi}{6}i}=\cos\frac{ k\pi}{6}+i\sin\frac{k\pi}{6}}\)
dla
\(\displaystyle{ k=1,3,5,7,9,11}\).
Ostatecznie wiec:
\(\displaystyle{ z=2e^{\frac{k\pi}{6}i}=2\left(\cos\frac{ k\pi}{6}+i\sin\frac{k\pi}{6}\right)}\)
dla
\(\displaystyle{ k=1,3,5,7,9,11}\).
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Rozwiąż rownanie
Nie wiem, czy rozumiem pytanie...
Zasadniczo do potegowania liczb zespolonych warto uzywac postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)}\)
lub Eulera:
\(\displaystyle{ z=|z|e^{i\phi}}\).
Wtedy poteguje sie latwo:
\(\displaystyle{ z^n=|z|^n(\cos n\phi+i\sin n\phi)}\) (wzor de Moivre'a, czy jak on sie tam zwal)
\(\displaystyle{ z^n=|z|^ne^{n\phi}}\).
Dzieki temu rownania typu \(\displaystyle{ z^3=-1}\) szybko mozna rozwiazac: argument (czyli kat) liczby \(\displaystyle{ -1}\) to \(\displaystyle{ \pi}\), czyli wystarczy znalezc takie \(\displaystyle{ \phi}\), ze \(\displaystyle{ 3\phi=\pi}\) pamietajac o tym, ze katy rozniace sie o \(\displaystyle{ 2k\pi}\) daja te same liczby (\(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) sa okresowe z okresem \(\displaystyle{ 2\pi}\)).
Zasadniczo do potegowania liczb zespolonych warto uzywac postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)}\)
lub Eulera:
\(\displaystyle{ z=|z|e^{i\phi}}\).
Wtedy poteguje sie latwo:
\(\displaystyle{ z^n=|z|^n(\cos n\phi+i\sin n\phi)}\) (wzor de Moivre'a, czy jak on sie tam zwal)
\(\displaystyle{ z^n=|z|^ne^{n\phi}}\).
Dzieki temu rownania typu \(\displaystyle{ z^3=-1}\) szybko mozna rozwiazac: argument (czyli kat) liczby \(\displaystyle{ -1}\) to \(\displaystyle{ \pi}\), czyli wystarczy znalezc takie \(\displaystyle{ \phi}\), ze \(\displaystyle{ 3\phi=\pi}\) pamietajac o tym, ze katy rozniace sie o \(\displaystyle{ 2k\pi}\) daja te same liczby (\(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) sa okresowe z okresem \(\displaystyle{ 2\pi}\)).