Rozwiąż rownania.
a)\(\displaystyle{ z ^{2}+\overline{3z}=0}\)
b)\(\displaystyle{ z ^{2}+1=0}\)
c)\(\displaystyle{ \frac{1+i}{z}= \frac{2-3i}{\overline{z}}}\)
d)\(\displaystyle{ frac{z+1}{overline{z}-1}=-1\(\displaystyle{ }\)}\)
Równania z liczba zespoloną
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Równania z liczba zespoloną
a)
\(\displaystyle{ z=0}\) nie spelnie, wiec zalozmy, ze \(\displaystyle{ z\neq 0}\).
Mozemy wiec pomnozyc obie strony rownania przez \(\displaystyle{ z}\):
\(\displaystyle{ z^3+3\overline{z}z=0}\)
Co jest rownowazne:
\(\displaystyle{ z^3=3|z|^2}\).
Stad
\(\displaystyle{ |z|^3=3|z|^2}\)
czyli
\(\displaystyle{ |z|=3}\).
Ponadto wczesniej otrzymalismy, ze
\(\displaystyle{ z^3=3|z|^2\in\mathbb{R}}\)
Zatem argument z jest rowny \(\displaystyle{ \frac{2k\pi}{3}}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2}\).
Skladajac to w calosc z jest postaci
\(\displaystyle{ z=3e^{\frac{2k\pi i}{3}}}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1,2}\). Przypadek \(\displaystyle{ k=0}\) wykluczamy, bo wowczas \(\displaystyle{ z=3}\) i rownanie nie jest spelnione.
Pozostale przypadki stanowia wiec rozwiazanie, to znaczy dla \(\displaystyle{ k=1,2}\):
\(\displaystyle{ z=3e^{\frac{2k\pi i}{3}}=3\left(\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3}\right)=3\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}}\)
b)
Tu po prostu \(\displaystyle{ \pm i}\). Te liczby sa rozwiazaniami, wicej nie ma z zasadniczego tw. algebry.
c)
Oczywiscie \(\displaystyle{ |z|=|\overline{z}|}\), zatem:
\(\displaystyle{ |L|=\frac{|1+i|}{|z|}=\frac{\sqrt 2}{|z|}}\)
\(\displaystyle{ |P|=\frac{|2-3i|}{|z|}=\frac{\sqrt {13}}{|z|}}\)
Zatem lewa strona nie moze byc rowna prawej, wobec czego rownanie nie ma rozwiazan (wlasciwych... na sferze Riemanna ma, mianowicie \(\displaystyle{ \infty}\)).
d)
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{\overline{z}-1}=-1}\)
Liczba \(\displaystyle{ z=1}\) nie spelnia rownania, bo nie jest ono okreslone, zatem rozwazmy rownowazne rownanie:
\(\displaystyle{ 1+z=1-\overline{z}}\)
Skad
\(\displaystyle{ z=-\overline{z}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ z^2=-1}\)
co jest tym samym rownaniem, co punkt b), czyli jego rozwiazaniami sa \(\displaystyle{ \pm i}\).
\(\displaystyle{ z=0}\) nie spelnie, wiec zalozmy, ze \(\displaystyle{ z\neq 0}\).
Mozemy wiec pomnozyc obie strony rownania przez \(\displaystyle{ z}\):
\(\displaystyle{ z^3+3\overline{z}z=0}\)
Co jest rownowazne:
\(\displaystyle{ z^3=3|z|^2}\).
Stad
\(\displaystyle{ |z|^3=3|z|^2}\)
czyli
\(\displaystyle{ |z|=3}\).
Ponadto wczesniej otrzymalismy, ze
\(\displaystyle{ z^3=3|z|^2\in\mathbb{R}}\)
Zatem argument z jest rowny \(\displaystyle{ \frac{2k\pi}{3}}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2}\).
Skladajac to w calosc z jest postaci
\(\displaystyle{ z=3e^{\frac{2k\pi i}{3}}}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1,2}\). Przypadek \(\displaystyle{ k=0}\) wykluczamy, bo wowczas \(\displaystyle{ z=3}\) i rownanie nie jest spelnione.
Pozostale przypadki stanowia wiec rozwiazanie, to znaczy dla \(\displaystyle{ k=1,2}\):
\(\displaystyle{ z=3e^{\frac{2k\pi i}{3}}=3\left(\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3}\right)=3\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}}\)
b)
Tu po prostu \(\displaystyle{ \pm i}\). Te liczby sa rozwiazaniami, wicej nie ma z zasadniczego tw. algebry.
c)
Oczywiscie \(\displaystyle{ |z|=|\overline{z}|}\), zatem:
\(\displaystyle{ |L|=\frac{|1+i|}{|z|}=\frac{\sqrt 2}{|z|}}\)
\(\displaystyle{ |P|=\frac{|2-3i|}{|z|}=\frac{\sqrt {13}}{|z|}}\)
Zatem lewa strona nie moze byc rowna prawej, wobec czego rownanie nie ma rozwiazan (wlasciwych... na sferze Riemanna ma, mianowicie \(\displaystyle{ \infty}\)).
d)
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{\overline{z}-1}=-1}\)
Liczba \(\displaystyle{ z=1}\) nie spelnia rownania, bo nie jest ono okreslone, zatem rozwazmy rownowazne rownanie:
\(\displaystyle{ 1+z=1-\overline{z}}\)
Skad
\(\displaystyle{ z=-\overline{z}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ z^2=-1}\)
co jest tym samym rownaniem, co punkt b), czyli jego rozwiazaniami sa \(\displaystyle{ \pm i}\).