Potęgowanie zespolonych

[Krzychu_AR_BUD]

Mam jeszcze jedno zadanie z ktorym nei do konca potrafie sobie poradzic

\(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)^{1985}}\)

Jesli post sie powtarza to prosze o pokazanie gdzie moge znalesc cos podobnego. Jestem tu nowy a jutro mam kolokwium wiec prosze o pomoc z gory dzieks. pzdr


Edit by Rogal: poprawiłem temat i zapis - dobrze się przyjrzyj temu.

[g]

slyszales moze o postaci trygonometrycznej liczby zespolonej i wzorze de Moivre'a?

[Malkolm]

Niech \(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i}\)

Liczbę z należy przedstawić w postaci trygonometrycznej, czyli:

\(\displaystyle{ |z|^{2}=(\frac {\sqrt {3} }{2} )^{2} + (\frac{1}{2})^{2}}\)=1, czyli

\(\displaystyle{ |z|=1}\) - moduł liczby zespolonej z

\(\displaystyle{ cos(\alpha)=\frac {\sqrt {3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ sin(\alpha)=-\frac {1}{2}}\)

Stąd wynika ,że kąt \(\displaystyle{ \alpha=2 \pi - \frac{\pi}{6}=\frac{11}{6} \pi}\) (IV ćwiartka układu współrzędnych) - argument główny liczby zespolonej z

Liczba z w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ z=cos(\frac{11}{6}\pi)+isin(\frac{11}{6}\pi)}\)

Teraz należy zastosować wzór de Moivre'a:

\(\displaystyle{ z^{1985}=cos(1985*\frac{11}{6}\pi)+isin(1985*\frac{11}{6}\pi)=cos(3638 \pi+\frac{7}{6}\pi)+isin(3638 \pi+\frac{7}{6}\pi)=cos(\frac{7}{6} \pi)+isin(\frac{7}{6} \pi)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \pi -\frac{1}{2}i}\)

Powyżej skorzystałem ze wzorów redukcyjnych (ale nie będe uzasadniał, jaki gdzie).