Liczby zespolone (przykład z *)

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Harry Xin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 545
Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 148 razy
Pomógł: 83 razy

Liczby zespolone (przykład z *)

Post autor: Harry Xin »

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równanie:
\(\displaystyle{ z ^{3}-6iz ^{2}-12z+8i=0}\)
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Liczby zespolone (przykład z *)

Post autor: soku11 »

Bez wiekszego kombinowania mozna w ostatecznosci wstawic
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)

I obliczyc powstaly uklad rownosci. Bo rozlozyc sie chyba raczej nie da :/ Jak ktos ma jakis pomysl, to niech pisze - sam chetnie zobacze ;] Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
Harry Xin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 545
Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 148 razy
Pomógł: 83 razy

Liczby zespolone (przykład z *)

Post autor: Harry Xin »

Bardzo ciężki ten przykład, gdy się nie ma na niego sposobu. ;/
Oto co zrobiłem dotychczas
\(\displaystyle{ z ^{3}-6iz ^{2}-12z+8i=0}\)
Niech
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ (x+yi) ^{3}-6i(x+yi) ^{2}-12(x+yi)+8i=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{3}+3x ^{2}yi-3xy^{2}-y^{3}i-6ix^{2}+12xy+6y^{2}i-12x-12yi+8i=0}\)
\(\displaystyle{ (x ^{3} -3xy^{2}-12x+12xy)+i(3x ^{2} y-6x ^{2} -y ^{3} +6y ^{2} -12y+8)=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{3}-3xy^{2}-12x+12xy=0 \\ 3x^{2}y-6x^{2}-y^{3}+6y^{2}-12y+8=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x(x^{2}-3y^{2}-12+12y)=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 x^{2}-3y^{2}-12+12y=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 x^{2}-3(y^{2}-4y+4)=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 x^{2}-3(y-2)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 x^{2}=3(y-2)^{2}}\)
\(\displaystyle{ I \begin{cases} x=0 \\ -y^{3}+6y^{2}-12y+8=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ y^{3}-6y^{2}+12y-8=0}\)
... Tu skorzystałem z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych i ze schematu Hornera. Nie wiecie czy można się w takiej sytuacji legalnie wspomóc kalkulatorem na kolokwium?
\(\displaystyle{ (y-2)^{3}=0}\)
\(\displaystyle{ y=2}\)
\(\displaystyle{ z=2i}\)
\(\displaystyle{ II \begin{cases} x^{2}=3(y-2)^{2} \\ 3y*3(y-2)^{2}-6*3(y-2)^{2}-y^{3}+6y^{2}-12y+8=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 9y(y^{3}-6y^{2}+12y-8)-18(y^{2}-4y+4)-y^{3}+6y^{2}-12y+8=0}\)
\(\displaystyle{ 9y^{4}-54y^{3}+108y^{2}-72y-18y^{2}+72y-72-y^{3}+6y^{2}-12y+8=0}\)
\(\displaystyle{ 9y^{4}-55y^{3}+96y^{2}-12y-64=0}\)
Hmmm... I co teraz?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Liczby zespolone (przykład z *)

Post autor: Lorek »

Hah, a wiecie, że \(\displaystyle{ z^3-6iz^2-12z+8i=(z-2i)^3}\)?
ODPOWIEDZ