Jak rozwiazac takie rownanka

[Krzychu_AR_BUD]

Witam, ma ktos moze pomysl jak rozwiazac te 2 odzielne rownania:

x^4+ix=0

oraz

x^4=(1-i)^4

z gory wielkie dzieki pzdr

[Malkolm]

Niech \(\displaystyle{ z C}\)

a)
\(\displaystyle{ (z^{4}+iz)=0 \Longleftrightarrow z=0}\) lub \(\displaystyle{ z^{3}+i=0}\)

1)\(\displaystyle{ z^{3}+i=0}\)

\(\displaystyle{ z^{3}=-i}\)

Liczbę zespoloną -i zapiszmy w postaci trygonometrycznej. Zatem

\(\displaystyle{ -i=cos (\frac {3}{2} \pi)+i sin (\frac{3}{2} \pi)}\). Wówczas korzystając ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej otrzymujemy:

\(\displaystyle{ z_{0}=cos(\frac{\frac {3}{2} \pi+0}{3})+i sin(\frac{\frac {3}{2} \pi+0}{3})=cos(\frac {1}{2} \pi)+i sin(\frac {1}{2} \pi)=i}\)

\(\displaystyle{ z_{1}=cos(\frac{\frac {3}{2} \pi+2\pi}{3})+i sin(\frac{\frac {3}{2} \pi+2\pi}{3})=cos(\frac {7}{6} \pi)+i sin(\frac {7}{6} \pi)=-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ z_{2}=cos(\frac{\frac{3}{2} \pi+4\pi}{3})+i sin(\frac{\frac {3}{2} \pi+4\pi}{3})=cos(\frac {11}{6} \pi)+i sin(\frac {11}{6} \pi)=\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}}\)

Reasumując:

Rozwiązaniami danego równania są liczby zespolone:

\(\displaystyle{ z=0}\)

lub

\(\displaystyle{ z=i}\)

lub

\(\displaystyle{ z=-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}}\)

lub

\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}}\)

b)
\(\displaystyle{ z^{4}=(1-i)^{4}}\)

Ponieważ liczba zespolona \(\displaystyle{ 1-i 0}\), więc korzystając z własności działań na potęgach otrzymujemy, że:

\(\displaystyle{ (\frac{z}{1-i})^{4}=1}\).

Niech \(\displaystyle{ (\frac{z}{1-i})=w}\). Wówczas \(\displaystyle{ w^{4}=1}\).

Korzystając ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej otrzymujemy:

1) \(\displaystyle{ w_{0}=1}\)

2) \(\displaystyle{ w_{1}=i}\)

3) \(\displaystyle{ w_{2}=-1}\)

4) \(\displaystyle{ w_{3}=-i}\)

Wracając z podstawieniem mamy:

1)\(\displaystyle{ \frac{z}{1-i}=1}\), czyli \(\displaystyle{ z=1-i}\)

2)\(\displaystyle{ \frac{z}{1-i}=i}\), czyli \(\displaystyle{ z=(1-i)i=1+i}\)

3)\(\displaystyle{ \frac{z}{1-i}=-1}\), czyli \(\displaystyle{ z=-1+i}\)

4)\(\displaystyle{ \frac{z}{1-i}=-i}\), czyli \(\displaystyle{ z=(1-i)(-i)=-1-i}\)

Podsumowując:

Rozwiązaniami danego równania są liczby zespolone:

\(\displaystyle{ z_{0}=1-i}\) lub \(\displaystyle{ z_{1}=1+i}\) lub \(\displaystyle{ z_{2}=-1+i}\) lub \(\displaystyle{ z_{4}=-1-i}\)