pierwiasteki równania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Frey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3299
Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 243 razy

pierwiasteki równania

Post autor: Frey »

proszę o pomoc w rozpisaniu równania, niby jest bardzo proste, ale jakaś niemoc mnie do padła ;/

\(\displaystyle{ x ^{8} + x ^{4} +1 = 0}\)

oczywiście rozwiązywaniem z korzystania zmiennych pomocniczych ale coś nie wyszło ;/
Awatar użytkownika
nuclear
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1501
Rejestracja: 22 paź 2006, o 12:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 264 razy

pierwiasteki równania

Post autor: nuclear »

podstawiamy \(\displaystyle{ x^4=t}\) czyli \(\displaystyle{ t^2+t+1=0}\) liczysz deltę i normalnie pierwiastki oczywiście przyjmując że \(\displaystyle{ \sqrt{-1}=i}\). następnie przedstaw wynik w postaci trygonometrycznej i podnieś do potęgi (jest na to gotowy wzór).
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

pierwiasteki równania

Post autor: soku11 »

\(\displaystyle{ x^4=t\\
t^2+t+1=0\\
\Delta=1-4=-3=(\sqrt{3}i)^2\\
t_1=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\\
t_2=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\
x^4=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\;\;\vee\;\; x^4=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\}\)


Teraz obie liczby zespolone zamieniasz na postac trygonometryczna (problem to chyba tylko dopasowanie kata), a nastepnie korzystasz ze wzoru na pierwiastki Ma ich wyjsc oczywiscie 8. Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

pierwiasteki równania

Post autor: Szemek »

\(\displaystyle{ x^8+x^4+1=0 \\
x^4=u \\
u^2+u+1=0 \\
(u+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}=0 \\
(u+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)(u+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=0 \\
u_1=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \qquad u_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)

\(\displaystyle{ |u_1|=1 \\
\begin{cases} \cos \varphi = -\frac{1}{2} \\
\sin \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \to \;\; \varphi = \frac{4}{3}\pi \\
x=\sqrt[4]{u_1} = \sqrt[4]{1} (\cos \frac{\frac{4}{3}\pi+2k\pi}{4} + i\sin \frac{\frac{4}{3}\pi+2k\pi}{4}) k \{0,1,2,3\} \\
x_1 = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\
x_2 = \cos \frac{5}{6}\pi + i\sin \frac{5}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \\
x_3 = \cos \frac{4}{3}\pi + i\sin \frac{4}{3}\pi = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \\
x_4 = \cos \frac{11}{6}\pi + i\sin \frac{11}{6}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i}\)


spróbuj wyliczyć pozostałe 4 pierwiastki
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

pierwiasteki równania

Post autor: Lorek »

A jak Ci nie idzie z podstawianiem i pierwiastkowaniem, to możesz skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ x^8+x^4+1=(x^2-\sqrt{3}x+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)}\)
Awatar użytkownika
Frey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3299
Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 243 razy

pierwiasteki równania

Post autor: Frey »

dzięki wielkie za pomoc, niby robiłem podobnie ale jakoś się zamotałem pod koniec.

\(\displaystyle{ |u_2|=1 \\
\begin{cases} \cos \varphi = -\frac{1}{2} \\
\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \to \;\; \varphi = \frac{2}{3}\pi \\
x=\sqrt[4]{u_2} = \sqrt[4]{1} (\cos \frac{\frac{2}{3}\pi+2k\pi}{4} + i\sin \frac{\frac{2}{3}\pi+2k\pi}{4}) k \{0,1,2,3\} \\
x_5 = \cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} = \frac{ \sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \\
x_6 = \cos \frac{4}{6}\pi + i\sin \frac{4}{6}\pi = -\frac{1}{2}+\frac{ \sqrt{3}}{2}i \\
x_7 = \cos \frac{7}{6}\pi + i\sin \frac{7}{6}\pi = -\frac{ \sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \\
x_8 = \cos \frac{10}{6}\pi + i\sin \frac{10}{6}\pi = \frac{1}{2}-\frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)


chyba powinno być tak?

Lorek tak też można, ale trzeba to zauważyć, ja nic nie potrawie zauważać, więc wole na piechotę robić
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

pierwiasteki równania

Post autor: Szemek »

jak dla mnie jest OK,
zauważ jeszcze, że rozwiązania można połączyć parami: liczbę zespoloną i liczbę sprzężoną do danej
ODPOWIEDZ