Liczby zespolone - równanie

[Harry Xin]

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równanie:

\(\displaystyle{ z ^{2}=4\overline{z}}\)

I od razu mam takie ogólne pytanie. Tego typu zadania rozwiązuje się bez czy z podstawieniem?
\(\displaystyle{ z=a+bi}\)

@edit: Poprawa tytułu (dzięki).

[luka52]

Owszem, możesz przedstawić tak \(\displaystyle{ z}\), jednak można i inaczej, tj. skorzystać z postaci wykładniczej (lub trygonometrycznej) liczby zespolonej \(\displaystyle{ |z|^2 e^{i 2 \varphi} = 4 |z| e^{-i \varphi}}\) i dalej to poprzekształcać.

Zauważ, że gdyby równanie było postaci np. \(\displaystyle{ z^{1000} = 4 \overline{z}}\), to podstawienie \(\displaystyle{ z=a+ib}\) nie byłoby specjalnie wygodne .

PS. ,,Liczby rzeczywiste - równanie' ?

[Harry Xin]

A można prosić o pełne rozwiązanie?
Poza tym troszkę ta postać dla mnie zaskakująca i nie za bardzo wiem skąd się wzięła. ;/

[luka52]

Dlaczego zaskakująca? Takie wzory jak \(\displaystyle{ z = |z| e^{i \varphi}, \quad \overline{z} = |z| e^{-i\varphi}}\) to jest podstawa.

Wracając do równania: \(\displaystyle{ |z|^2 e^{i 2 \varphi} = 4|z| e^{-i\varphi}}\) to jest ono równoważne następującemu układowi równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \begin{array}{rcl} |z|^2 & = & 4|z| \\ 2 \varphi & = & - \varphi + 2 k \pi , \;\; k \mathbb{Z} \end{array} \end{cases}}\)

[Harry Xin]

No nie ukrywam, że średnio to pojmuję. ;/
Dlatego spróbowałem to rozwiązać poprzez podstawienie (sprawdziłem jakie będę miał zadania do rozwiązania - maksymalnie do 4 potęgi).
Można prosić o sprawdzenie?
\(\displaystyle{ z ^{2} =4\overline{z}}\)
Niech \(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ (a+bi) ^{2}=4\overline{(a+bi)}}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}+2abi-b ^{2}=4(a-bi)}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}+2abi-b ^{2}=4a-4bi}\)
\(\displaystyle{ (a ^{2}-b ^{2}-4a)+2ib(a+2)=0}\)
Dobrze?

[luka52]

Na razie tak, jednak to nie koniec rozwiązania.

[Harry Xin]

A co się dalej robi? Mam o tyle kiepską sytuację, że z algebry mamy na studiach tylko wykłady a dostaliśmy zestaw zadań do których nie ma odpowiedzi. ;/
Mam wyznaczyć wartość a+bi?

[soku11]

Tworzysz uklad i rozwiazujesz:
\(\displaystyle{ (a^2-b^2-4a)+i(2ba+4b)=0\\
\begin{cases}
a^2-b^2-4a=0\\
2ab+4b=0\end{cases}\\
\begin{cases}
a^2-b^2-4a=0\\
b(a+2)=0\end{cases}\\
\begin{cases}b=0\\a^2-4a=0\end{cases}\;\;\vee\;\;\begin{cases} a=-2\\4-b^2+8=0\end{cases}\\}\)

Rozwiazujesz i masz kilka rozwiazan Pozdrawiam.