pierwiastek 6. stopnia

[helluin]

\(\displaystyle{ \sqrt[6]{\frac{1+i}{1-i \sqrt{3}} }}\)

mnożę przez \(\displaystyle{ \frac{1+ i\sqrt{3}}{1+ i\sqrt{3}}}\) i otrzymuję algebraiczną postac \(\displaystyle{ \frac{1- \sqrt{3}+(1+ \sqrt{3})i}{4}}\)


|z| wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2}}{2}}\)

i co dalej? cos i sin wychodzą przedziwne...

to mój pierwszy post a więc witam wszystkich i mam nadzieję, ze nie zblaźniłem się na wstępie

[natkoza]

ja bym jednak poleciła "rozbić " sobie wkońcu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}\) powinno znacznie uprościc sprawe.. bo liczysz oba te pierwiastki osobno a wyniki dzielisz przez siebie

[helluin]

rzeczywiście godne polecenia dziękuję, zrobię jak tylko się wyśpię

[YYssYY]

ale co dzielić przez sibie jak w każdym wychodzi 6 różnych wyników i teraz bądź tu człowiku mądry?
każdy z każdym czy 0 z 0, 1 z 1?

[Frey]

Tak z ciekawości sprawdziłem, co to za sinus i cosinusy wyjdą, i są one dość przejmie z tego co widać to mamy
\(\displaystyle{ cos= \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} // sin= \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}}\)

chyba że się pomyliłem, ale jeśli tak, to można to zapisać, jakoś tak:

\(\displaystyle{ {\frac{1+i}{1-i \sqrt{3}} = (\frac{ \sqrt{2} }{2} )^{6} (cos \frac{5}{12}\pi +isin \frac{5}{12}\pi)^{6}}\)

Po kombinuj dalej ja nie mam pomysłu, co do tej metody z dzieleniem pierwiastków, to jakoś jej nie łapę, i nie wiem niby dlaczego takie dzielenie byłby prawdziwe.

[soku11]

\(\displaystyle{ z=\sqrt[6]{\frac{1+i}{1-i \sqrt{3}} }\\
z^6=\frac{1+i}{1-i\sqrt{3}}\\
\frac{1+i}{1-i\sqrt{3}}=
\frac{ \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}) }{2(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}=
\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}}=
\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos -\frac{17\pi}{12}+i\sin \frac{-17\pi}{12}\right)\\
z_k=\sqrt[6]{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(
\cos \frac{-\frac{17\pi}{12}+2k\pi}{6}+i\sin\frac{-\frac{17\pi}{12}+2k\pi}{6}
\right)\;\;k\in\{0,1,2,3,4,5\}}\)

Podstawic i masz wszystkie pierwiastki Pozdrawiam.

[helluin]

Wielkie dzięki!