pierwiastki

[K4rol]

sprawa jest dość prosta,

\(\displaystyle{ z=2\sqrt{2}(cos\frac{3}{4}\pi + sin\frac{3}{4}\pi i)\\}\)
oblicz \(\displaystyle{ \sqrt[4]{z}}\)
no to:
\(\displaystyle{ cos\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\\}\)
z tego:
\(\displaystyle{ \alpha=135}\)

\(\displaystyle{ k=0,1,2,3\\

z_{k}=\sqrt[n]{|z|}(cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+ sin\frac{\alpha+2k\pi}{n}i)\\

z_{0}=\sqrt[4]{2\sqrt{2}}(cos\frac{\frac{3}{4}}{4}\pi + sin\frac{\frac{3}{4}}{4}\pi i)=\sqrt[4]{2\sqrt{2}}(cos\frac{3}{16}\pi+sin\frac{3}{16}\pi i)\\

z_{1}=\sqrt[4]{2\sqrt{2}}(cos\frac{\frac{3}{4}\pi+2\pi}{4} + sin\frac{\frac{3}{4}\pi+2\pi}{4} i)}\)

argument:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{3}{4}\pi+2\pi}{4}\pi=\frac{2\frac{3}{4}\pi}{4}=\frac{\frac{11}{4}\pi}{4}=\frac{11}{16}\pi}\)
a więc mam pytanie czemu w odp jest
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{2\sqrt{2}}(-cos\frac{5}{16}\pi+sin\frac{5}{16}\pi i)}\)
czemu znak zmieniony przy cos? i czemu taki licznik:) pewnie coś z tym cos alfa bo wyszedł ujemny bo II ćw.
o 13 mam ćwiczenia, mam nadzieję że zdążę się dowiedzieć:d

[N4RQ5]

Przygotowując odpowiedzi zamiast dodać \(\displaystyle{ 2\pi}\), odjęli je. Stąd inny wynik. Gdybyś policzył też dwa następne pierwiastki dostałbyś i tamten wynik.

PS: mam nadzieje że to 11/6 pod koniec to literówka bo powinno być 11/16

[K4rol]

no tak, czyli błąd jest z ich strony? dziwne.. taki sam błąd też znalazłem na lekcji u naszego 'profesora' mianowicie:
\(\displaystyle{ z=2(cos\frac{\pi}{3}+sin\frac{\pi}{3}i)\\
k=0,1,2\\
z_{0}=\sqrt[3]{2}(cos\frac{\pi}{9} + sin\frac{\pi}{9}i)}\)
no i wszystko się zgadza, ale znowu przy z1 i z2 nie kumam czegoś.

\(\displaystyle{ z_{1}=\sqrt[3]{2}(cos\frac{\frac{\pi}{3}+2\pi}{9} + sin\frac{\frac{\pi}{3}+2\pi}{9}i)=\sqrt[3]{2}(cos\frac{\frac{7}{3}\pi}{3}+sin\frac{\frac{7}{3}\pi}{3}i)=\sqrt[3]{2}(cos\frac{7}{9}\pi+sin\frac{7}{9}\pi i)}\)
czemu więc naszemu wykładowcy wyszedł argument 2/3pi?