~3 zadania (pytania?!) do l.z.

[Maniek]

Mam kilka pytań do l.z:

[1] Jak najlepiej (czyt. najłatwiej) rozwiązywać takie mnożenia? \(\displaystyle{ (z^2+4)(z^3-i)}\) ??
~czy od razu rozpisywać ze wzorów skróconego mnożenia? i wymnażać nawiasy?
~czy podstawić za z=x+yi i tak jak wyżej?
~czy coś innego?
~+prosze o wyniki dla sprawdzenia

[2] Czy takie wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{1+\sqrt{3i}}}\) rozwiązać najlepiej przez zrobienie: \(\displaystyle{ \sqrt{1+\sqrt{3i}}=x+yi //^2}\) ?? Aha i jakie wam wyniki wyszły

[3] Chciałbym jeszcze tylko sprawdzić wyniki:
\(\displaystyle{ (\frac{1-i}{i+1})^{25}}\) i to by było imo = -i

[Rogal]

W pierwszym mnożyłbym klasyczną zasadą "każdy przez każdy". Czyli byłoby:
\(\displaystyle{ z^{5} +4z^{3} - iz^{2} - 4i}\)
W drugim można robić jak piszesz, jednak, jeśli dobrze widzę, to tam jest "i" pod pierwiastkiem. Więc wpierw wypadałoby uprościć wyrażenie pod dużym pierwiastkiem, a potem brać się do pierwiastkowania. Na początek polecam postać trygonometryczną - dobrze się jest oswoić. Potem zaś wyprowadź sobie ogólny wzór na pierwiastek dowolnej liczby zespolonej na zasadzie podanej przez Ciebie:
\(\displaystyle{ \sqrt{a+bi} = x+yi}\)
W trzecim w sumie najprościej ze wzoru de Moivre'a (czyli znowuż postać trygonometryczna). Acz wpierw dobrze byłoby rozszerzyć ten ułamek przez i-1.
Dasz radę

[Maniek]

Co do pierwszego wiem, że trzeba wymnożyć tylko co dalej zrobić ?? co później ? postawić zamiast z -->x+yi ?? i ze wzorów skróconego ?? przecież to ho ho i rozpisywania ? a później mi się i tak nie skróci nic więc nie wiem co i jak tu wyliczyć:(


Co do drugiego: chodzi Ci żebym zrobił \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3i}=2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}+\sqrt{2i}}\) ?? i dopiero ze wzoru ??
Coś się wali w texie kod dobry, a pisze: cospi 4 ma być tam

Kod: Zaznacz cały

sqrt{pi}{4} :)

[/color]


Co do trzeciego tak wiem że trzeba wymnożyć przez liczbę sprzężoną .. ale chodziło mi o wynik

Spokojnie, nic się w TeX-u nie wali, wystarczyło dodać tylko przed cosinusem - olazola

[Rogal]

To podaj jeszcze co chcesz w tym pierwszym zrobić - miejsca zerowe wyrażeń w nawiasach podać, czy jak?
W drugim chodzi mi o to, byś nie miał "i" pod pierwiastkiem.
A w trzecim to naprawdę się mi nie chce ;P

[kuch2r]

\(\displaystyle{ (\frac{1-i}{i+1})^{25}\\\frac{1-i}{i+1}=\frac{(1-i)(i-1)}{(i+1)(1-i)}=\frac{2i}{2}=i}\)
z De Moivre'a
\(\displaystyle{ z^n=|z|^n(cosn \psi + isinn \psi)\\|z|=1\\cos\psi=0\\sin\psi=1\\\psi=\frac{\pi}{2}\\z^{25}=1^{25}(cos(25\cdot\frac{\pi}{2}(+isin(25\cdot\frac{\pi}{2}))=cos(\frac{\pi}{2})+isin(\frac{\pi}{2})=i}\)

[Maniek]

To podaj jeszcze co chcesz w tym pierwszym zrobić - miejsca zerowe wyrażeń w nawiasach podać, czy jak?

Mam takie zadanie rozwiąż i to podane co wyżej:)

W drugim chodzi mi o to, byś nie miał "i" pod pierwiastkiem.

To nie mam pojęcia jak się pozbyć tego "i" hehe

A w trzecim to naprawdę się mi nie chce ;P

Nie ma sprawy

[Rogal]

No to ciekawe z tym pierwszym . Przypuszczam, że chodzi o znalezienie pierwiastków takiego wielomianu. Czyli po prostu każdy nawias przyrównujesz do 0 i rozwiązujesz równania.
Hmm, nie masz pojęcia jak się pozbyć tego i? Ależ masz, masz, tylko jeszcze o tym nie wiesz ;p. Albo zamień i na postać trygonometryczną i skorzystaj z de Moivre'a albo wpierw wyprowadź wzory na liczby x i y powiązane taką zależnością:
\(\displaystyle{ \sqrt{a+bi} = x + yi}\)
Gdzie a i b masz dane.