Pierwiastkowanie l. zespolonej 3 stopnia z 8

[green_01]

Cześć,

Mam rozwiazac:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8}}\)

i rozwiazuje ale za nic nie moze mi wyjsc wynik ;/ Moze ktos napisac jakto rozwiacac, dac dokladny przyklad? ;>


Dzieki

[kuch2r]

Niech:
\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{8}}\)
Stad:
\(\displaystyle{ x^3-8=0 \iff (x-2)(x^2+2x+4)=0}\)

[Qń]

Tutaj najszybciej jest tak jak napisał kuch2r, ale można też skorzystać z ogólnych wzorów:

- na pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki:
\(\displaystyle{ \epsilon_k = \cos \frac{2k\pi}{n} + i\sin \frac{2k\pi}{n}}\) , \(\displaystyle{ k=0,1, \dots , n-1}\)

- na pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z dowolnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=|z|(\cos +i\sin\alpha )}\):
\(\displaystyle{ \epsilon_k =\sqrt[n]{|z|}\left( \cos \frac{\alpha + 2k\pi}{n} + i\sin \frac{\alpha +2k\pi}{n}\right)}\) , \(\displaystyle{ k=0,1, \dots , n-1}\)

Q.

[green_01]

A molgby ktos ten konkretny przyklad rozwiazac? ;>

[Qń]

Metodą pierwszą:
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2+2x+4) = 0 \\ (x-2)(x-(-1-i\sqrt{3}))(x-(-1+i\sqrt{3}) = 0 \\ x \{ 2, -1 -i\sqrt{3}, -1+i\sqrt{3} \}}\)

Metodą drugą:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8}=2\sqrt[3]{1}}\)
Pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki to:
\(\displaystyle{ \epsilon_0= \cos 0 + i \sin 0 = 1 \\
\epsilon_1 = \cos\frac {2\pi}{3} + i\sin \frac {2\pi}{3} = -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\epsilon_2 = \cos\frac {4\pi}{3} + i\sin \frac {4\pi}{3} = -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
a pierwiastki z ósemki to powyższe stworzenia przemnożone przez dwa.

Q.