Udowodnij własności sprzężenia liczb zespolonych..

[raphel]

Udowodnij następujące własności sprzężenia liczb zespolonych:
a) \(\displaystyle{ \overline{(\overline{z})} = z}\)
b) \(\displaystyle{ \overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}}\)
c) \(\displaystyle{ \overline{zw} = \overline{z} \overline{w}}\)
d) \(\displaystyle{ \Re(z) = (z+\overline{z}) /2, \Im = (z - \overline{z})/2i}\)

[soku11]

a)
\(\displaystyle{ z=x+iy\\
\overline{z}=x-iy\\
\overline{(\overline{z})}=x+iy=z}\)

[ Dodano: 12 Października 2008, 22:12 ]
b)
\(\displaystyle{ \overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}\\
z=x+iy\;\;\;w=a+ib\\
\overline{z+w}=\overline{x+iy+a+ib}=
\overline{x+a+i(y+b)}=
x+a-i(y+b)=
x+a-iy-ib=
x-iy+a-ib=\overline{z}+\overline{w}}\)

[raphel]

a przykłady z "z i w " w jaki sposób zrobić??

[soku11]

d)
\(\displaystyle{ \Re(z) = \frac{z+\overline{z}}{2}\\
\Im(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}\\
z=x+iy\\
\overline{z}=x-iy\\
1.:\\
\frac{x+iy+x-iy}{2}=\frac{2x}{2}=x=\Re(z)\\
2.:\\
\frac{x+iyx+iy}{2i}=\frac{2iy}{2i}=y=\Im(z)}\)

[ Dodano: 12 Października 2008, 22:34 ]
c) Tutaj mozna podstawic jakies liczby z obu stron i zobaczyc, ze wyjdzie \(\displaystyle{ 1=1}\). Lub w ostatecznosci troche naciagnac,tj:
\(\displaystyle{ \overline{(x+iy)(a+ib)}=
\overline{ax+ixb+iay+i^2b}=
ax+i^2b-ixb-iay=
(a-ib)(x-iy)=\overline{w}\cdot\overline{z}}\)

Pozdrawiam.

[malinka991]

a jak rozwiązać przyklad A ale z pojedynczym sprzężeniem = z?