Potegowanie

[green_01]

Witam,


Mam problem z takim zadaniem:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3} + i \sqrt{3})^{62}}\)
I tu cos jest nie tak:\(\displaystyle{ \sqrt{6}^{31}(cos(\frac{62\pi}{3})+ i sin(\frac{62\pi}{6}))=\sqrt{6}^{31}(cos(20\frac{2}{3}\pi + \frac{\pi}{3}) +i sin(20\frac{2}{3}pi+ \frac{\pi}{6}))=\sqrt{6}^{31}(cos(\frac{\pi}{3})+i sin(\frac{\pi}{6}))}\)

W odpowiedzi jest \(\displaystyle{ -6^{31}i}\). Czyli z dzialan w nawiasie ma byc liczba ujemna ;/

Prosze o wytlumaczenie ;]

Krótki kurs LaTeX-a - zapisywanie wyrażeń matematycznych
frej

[xiikzodz]

W odpowiedzi jest OK.

\(\displaystyle{ \sqrt{3}+i\sqrt{3}=\sqrt{6}\cdot\frac{1+i}{\sqrt 2}=\sqrt{6}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)}\).

Stad
\(\displaystyle{ (\sqrt{3}+i\sqrt{3})^{62}=\sqrt{6}^{62}\cdot\left(\cos\frac{62\pi}{4}+i\sin\frac{62\pi}{4}\right)=6^{31}\cdot(-i)=-6^{31}i}\)

[green_01]

A ja robie tak ze:
wyznaczam argument,

\(\displaystyle{ \sqrt{6} \\
cos{x} = \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{6}} \\
sin{x}=\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{6}}}\)

i nie wychodzi w \(\displaystyle{ cos{\frac{\pi}{4}}}\) i \(\displaystyle{ sin {\frac{\pi}{4}}}\) ;/

A co do tej drugiej liniki @xiikzodz to skad wyszlo ci (-i)?

[xiikzodz]

Istnieje nieskonczenie wiele sposobow policzenia czegos zle i tobie udalo sie znalezc jeden z nich w przypadku liczenia tego argumentu. Lekarstwem na to jest poprawne jego wyliczenie, co jest natychmiastowe, bo liczba w podstawie lezy na prostej \(\displaystyle{ y=x}\).

\(\displaystyle{ \frac{62\pi}{4}=14\cdot 2\pi+\frac{3\pi}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\) to argument liczby \(\displaystyle{ -i}\).